Инвариант (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Инвариант.

Инвариа́нт в математике — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов оставаться неизменными при преобразованиях определённого типа.

Определение

Пусть $A$ — множество и $G$ — множество отображений из A в A. Отображение f из A в множество B называется инвариантом для G, если для любых $a\in A$ и $g\in G$ выполняется тождество $f(a)=f(g(a))$.

Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. По существу, целью всякой математической классификации является построение некоторой полной системы инвариантов (по возможности, наиболее простой), то есть такой системы, которая разделяет любые два неэквивалентных объекта из рассматриваемой совокупности.[1]

Примеры

• Мощность множества является инвариантом для множества биекций.
• В теории дифференциальных уравнений инвариантом называется функция, зависящая от искомой функции, значение которой постоянно (первый интеграл).
• Теория инвариантов занимается поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образованной ими алгебры для случая линейных представлений алгебраических групп, а также действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
• Топологический инвариант — см. Словарь терминов общей топологии.
• Задачи на инвариант представляют собой большой класс задач в олимпиадной математике.
• Число Хардвигера и хроматическое число являются инвариантами графа при перенумерации его вершин.
• Инвариант эллиптической кривой — число $J(E)=1728\frac{4a^3}{4a^3+27b^2}\pmod{p}$. См. ГОСТ Р 34.10-2001.

Примечания

1. ↑ В.Л.Попов Инвариант // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 526.