Икосаэдр

Икосаэдр
анимация
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный треугольник
Граней	20
Рёбер	30
Вершин	12
Граней при вершине	5
Площадь	$S=5a^2\sqrt3$
Объем	$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$
Радиус вписанной сферы	$r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$
Радиус описанной сферы	$R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a$
Группа симметрии	Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник	додекаэдр

Развертка икосаэдра

Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

площадь: $S=5a^2\sqrt3$

объём: $V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

радиус вписанной сферы: $r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$

радиус описанной сферы: $R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a$

Свойства

• Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
• В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
• Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
• Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 правильных тетраэдров.

Усечённый икосаэдр

Основная статья: Усечённый икосаэдр

Молекула фуллерена C₆₀ — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии.

В мире

• Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения^[1]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
• Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела

• Капсиды многих вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

См. также

• Звёздчатый многогранник

Литература

• Д. Гильберт «Икосаэдр»

Примечания

1. ↑ OpenGL Red Book Ch.2