Правильный многогранник

Додекаэдр

Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Определение

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранников

Существует всего пять правильных многогранников:

Изображение	Правильный многогранник	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Тип пространственной симметрии
	Тетраэдр	3	3	4	6	4	Th
	Октаэдр	3	4	6	12	8	Oh
	Икосаэдр	3	5	12	30	20	Ih
	Гексаэдр или куб	4	3	8	12	6	Oh
	Додекаэдр	5	3	20	30	12	Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".

Комбинаторные свойства

• Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

  В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

  p — число сторон каждой грани;

  q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
куб		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

  $p\Gamma = 2\mbox{P} = q\mbox{B}.\,$

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

$\mbox{B} = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \mbox{P} = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \Gamma = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.$

Геометрические свойства

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

$\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.$

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

$\operatorname{tg}\,\frac{\theta}{2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)},$

где $h$ принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект $\delta$ при любой вершине правильного многогранника:

$\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).$

По теореме Декарта, он равен $4\pi$ делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен $4\pi$).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

$\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,$

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ($4\pi$ стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа $\varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ – золотое сечение.

Многогранник	Двугранный угол θ	$\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$	Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр	70.53°	$1\over{\sqrt 2}$	60°	π	$\arccos\left(\frac{23}{27}\right)$	$\approx 0.551286$	π
куб	90°	1	90°	$\pi\over 2$	$\frac{\pi}{2}$	$\approx 1.57080$	$2\pi\over 3$
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°	${2\pi}\over 3$	$4\arcsin\left({1\over 3}\right)$	$\approx 1.35935$	$\pi\over 2$
додекаэдр	116.57°	$\varphi\,$	108°	$\pi\over 5$	$\pi - \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{11}\right)$	$\approx 2.96174$	$\pi\over 3$
икосаэдр	138.19°	$\varphi^2\,$	60°, 108°	$\pi\over 3$	$2\pi - 5\arcsin\left({2\over 3}\right)$	$\approx 2.63455$	$\pi\over 5$

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной ($R$) и вписанной ($r$) сфер задаются формулами:

$R = {a\over 2}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$

$r = {a\over 2}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2},$

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

$\rho = \frac{a\cos(\pi/p)}{2\sin(\pi/h)},$

где h - величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

${R\over r} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}.$

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

$S = \left({a\over 2}\right)^2 \Gamma p\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}.$

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

$V = {1\over 3}rS.$

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	$1\over {\sqrt 6}$	$1\over {\sqrt 2}$	$\sqrt{3\over 2}$	$4\sqrt 3$	$\frac{2\sqrt 2}{3}$
куб	$1\,$	$\sqrt 2$	$\sqrt 3$	$24\,$	$8\,$
октаэдр	$\sqrt{2\over 3}$	$1\,$	$\sqrt 2$	$8\sqrt 3$	$\frac{8\sqrt 2}{3}$
додекаэдр	$\frac{\varphi^2}{\xi}$	$\varphi^2$	$\sqrt 3\,\varphi$	$60\frac{\varphi}{\xi}$	$20\frac{\varphi^3}{\xi^2}$
икосаэдр	$\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}$	$\varphi$	$\xi\varphi$	$20\sqrt 3$	$\frac{20\varphi^2}{3}$

Константы φ и ξ задаются выражениями

$\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.$

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида^[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

В больших размерностях

Основная статья: Правильные многомерные многогранники

• Всего существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

• Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр и n-мерный куб (гиперкуб).

См. также

• Правильный многоугольник
• Полуправильный многогранник
• Звёздчатый многогранник
• Двойственный многогранник
• Правильные многомерные многогранники

Примечания

1. ↑ Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101

Ссылки

• Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• Weisstein, Eric W. Platonic Solids (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Фанаты математики/геометрия. (англ.)
• Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
• Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
• Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
• Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.
• Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2
• Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8
• Многогранники Волшебные грани - наборы для сборки моделей многогранников. — Москва: Многогранники, 2012. — С. 20. (рус.)