Теорема Минковского о многогранниках

Теорема Минковского о многогранниках — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями и площадями граней.

Теорема единственности Минковского: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) площади соответствующих граней одинаковы, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Несложно доказать, что если ${\mathbf n}_1, \dots, {\mathbf n}_k$ — единичные векторы внешних нормалей к граням выпуклого многогранника и $S_1,\dots,S_k$ — площади соответствующих граней, то $S_1{\mathbf n}_1+\ldots+S_k{\mathbf n}_k={\mathbf 0}$. Следующая теорема показывает, что указанное условие является единственным, связывающим площади граней и нормали к ним:

Теорема существования Минковского: Если ${\mathbf n}_1,\dots, {\mathbf n}_k$ — произвольные единичные векторы, не все направленные в одно полупространство, и $S_1,\dots,S_k$ — произвольные положительные числа, причём $S_1{\mathbf n}_1+\ldots+S_k{\mathbf n}_k={\mathbf 0}$, то существует выпуклый многогранник, для которого векторы ${\mathbf n}_1,\dots,{\mathbf n}_k$ (и только они) являются векторами внешних единичных нормалей к граням, а числа $S_1,\dots,S_k$ являются площадями граней.

Комментарии

• Обе теоремы доказаны Германом Минковским в 1897 году^[1]. Они понадобились ему для создания математических основ кристаллографии^[2].
• Обе теоремы Минковского верны во всех евклидовых пространствах размерности 2 и выше^[3][4].
• Теоремы обобщаются на случай произвольных выпуклых поверхностей, см. Задача Минковского
• При некоторых ограничениях подобные теоремы верны и для невыпуклых многогранников^[5].
• В трёхмерном пространстве обобщением теоремы единственности Минковского служит теорема Александрова о выпуклых многогранниках, утверждающая, что «Если у двух выпуклых многогранников все пары параллельных граней таковы, что ни одну грань нельзя поместить внутри другой параллельным перенесением, то такие многогранники равны и параллельно расположены».
• Одним из следствий является теорема Александрова — Шепарда — Макмюллена о том, что выпуклый многогранник с центрально-симметричными гранями сам является центрально-симметричным.

Примечания

1. ↑ H. Minkowski, Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder, Gött. Nachr., 198—219 (1897). Русский перевод: Г. Минковский, Общие теоремы о выпуклых многогранниках, Успехи мат. наук, вып. 2, 55—71 (1936).
2. ↑ А.Д. Александров, Б.Н. Делоне, Н.Н. Падуров, Математические основы структурного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда повторяемости при помощи рентгеновских лучей. М.; Л.: Гостехиздат, 1934.
3. ↑ А.Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
4. ↑ Л.А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
5. ↑ V. Alexandrov, Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons, Geom. Dedicata 107, 169—186 (2004). DOI 10.1007/s10711-004-4090-3.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.