- Интегральный признак Коши
-
Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.
Содержание
Формулировка теоремы
Пусть для функции f(x) выполняется:
- (функция принимает неотрицательные значения)
- (функция монотонно убывает)
- (соответствие функции ряду)
Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Набросок доказательства
- Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
- Площадь большей фигуры равна
- Площадь меньшей фигуры равна
- Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна
- Получаем
- Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.
Примеры
- расходится так как .
- сходится так как .
Оценка остатка ряда
Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения
с помощью несложных преобразований получаем:
- .
См. также
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категория:- Признаки сходимости
Wikimedia Foundation. 2010.