Признак Ермакова

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей "чувствительностью". Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Пусть для функции $f(x)$ выполняется: $f(x)>0 \ \forall x$ (функция принимает только положительные значения) функция $f(x)$ монотонно убывает при $x \geqslant 1$ Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ сходится, если при $x\geqslant x_0$ выполняется неравенство: $\epsilon(x)=\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\leqslant \lambda$, где $\lambda<1$. Если же $\epsilon(x)\geqslant 1$ при $x\geqslant x_0$, то ряд расходится.

Доказательство^[1]  

1. Пусть выполняется неравенство:

$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\leqslant \lambda.$

Домножим обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрируем, используя подстановку $t=e^u$:

$\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)dt=\int\limits_{x_0}^x f(e^u)\cdot e^u du\leqslant \lambda \int\limits_{x_0}^x f(t) dt,$

отсюда

$(1-\lambda)\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)dt\leqslant \lambda \left(\int\limits_{x_0}^x f(t) dt-\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t) dt\right)\leqslant \lambda\left(\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t) dt-\int\limits_x^{e^x} f(t) dt\right)\leqslant \lambda\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t) dt,$

так как $e^x>x$, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на $1-\lambda$, получим:

$\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)dt\leqslant \frac{\lambda}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t) dt,$

Прибавив к обеим частям интеграл $\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}}f(t)dt$, получим

$\int\limits_{x_0}^{e^x}f(t)dt\leqslant \frac{1}{(1-\lambda)}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t) dt=L.$

Учитывая, что $e^x>x$, при $x\geqslant x_0$

$\int\limits_{x_0}^x f(t)dt\leqslant L.$

Поскольку с возрастанием $x$ и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при $x\rarr\infty$:

$\int\limits_{x_0}^\infty f(t)dt\leqslant L,$

Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ также сходится.

2. Пусть теперь имеет место неравенство:

$\frac{e^x\cdot f(e^x)}{f(x)}\geqslant 1.$

Домножив обе части этого неравенства на $f(x)$ и проинтегрировав, используя в левой части подстановку $t=e^u$, получим:

$\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x}f(t)dt\geqslant \int\limits_{x_0}^x f(t) dt.$

Прибавим к обеим частям интеграл $\int\limits_x^{e^{x_0}}f(t)dt$

$\int\limits_{x}^{e^x}f(t)dt\geqslant \int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t) dt=\gamma.$

Поскольку $x_0<e^{x_0}$, то $\gamma>0$. Определим теперь последовательность $\{x_i\}$ следующим образом:

$x_i=e^{x_{i-1}},\,i=0,1,\ldots,n,\ldots$

Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:

$\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)dt\geqslant \gamma.$

Суммируем этот интеграл по $i=0,1,\ldots,n$

$\int\limits_{x_0}^{x_n}f(t)dt=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(t)dt\geqslant n\gamma,$

то есть этот интеграл неограничен при $n\rarr\infty$. Поэтому:

$\int\limits_{x_0}^\infty f(t)dt=\lim_{x\rarr\infty}\int\limits_{x_0}^x f(t)dt=+\infty.$

Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ также расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $\epsilon=\lim_{x \to \infty} \epsilon(x)$ то при $\epsilon < 1$ ряд сходится, а при $\epsilon > 1$ — расходится.

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.

Литература

• Математическая энциклопедия, Т.2, «Ермакова признак»