Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Определение

Пусть $\{a_i\}_{i=1}^{\infty}$ — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

$\{s_k\}_{k=1}^{\infty},$

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида

$s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.$

Вообще, для обозначения ряда используется символ

$\sum_{i=1}^{\infty}a_i,$

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
• числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел $S$ последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

$S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i,$

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды $\sum_{n=0}^\infty a_n$ и $\sum_{n=0}^\infty b_n$. Тогда:

• Их суммой называется ряд $\sum (a_n + b_n)$
• Их произведением по Коши называется ряд $\sum c_n$, где $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Критерий абсолютной сходимости

Ряд $\,a_k$ сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда $\,b_k$ и $\,c_k.$ Где $\,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.$

---

Доказательство. Если сходится $\sum \left|a_k\right|,$ то по признаку сравнения тем более сходятся $\,b_k$ и $\,c_k.$ Наоборот, если сходятся $\,b_k$ и $\,c_k,$ то сходится и их сумма $\sum \left|a_k\right|.$

См. также

• Сумма ряда
• Функциональный ряд

Литература

• В. А. Зорич Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.