Формула пяти элементов (сферическая геометрия)

Рисунок к формуле пяти элементов и её доказательству с помощью проекций.

Формула пяти элементов в сферической тригонометрии выражает соотношение между пятью элементами сферического треугольника^[1].

Описание

Весь основной набор формул пяти элементов для различных углов и сторон треугольника может быть разделён на две группы:

• Формулы, связывающие три стороны и два угла, иначе называемые формулами синуса стороны на косинус угла. Вот одна из них^[2]:

$~\sin a\cos B= \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A,$

• Формулы, связывающие три угла и две стороны, иначе называемые формулами синуса угла на косинус стороны. Одна из них имеет вид:

$~\sin A\cos b= \sin C \cos B + \cos C \sin B \cos a,$

В формуле синуса стороны на косинус угла сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие две стороны и угол между ними. Для каждой стороны можно взять один из двух прилежащих углов, поэтому всего таких формул шесть.

В формуле синуса угла на косинус стороны сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие два угла и прилежащую к ним сторону. Таких формул — тоже шесть.

Каждая формула синуса угла на косинус стороны двойственна к одной из формул синуса стороны на косинус угла, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать только формулы синуса стороны на косинус угла. Более того, две формулы синуса стороны на косинус одного прилежащего угла и синуса той же стороны на косинус другого прилежащего угла получаются совершенно аналогично. А из этих двух формул остальные четыре формулы синуса стороны на косинус угла получаются при помощи круговой перестановки букв:

$a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a, A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A \,$

Таким образом, достаточно доказать одну из формул синуса стороны на косинус угла.

Доказательство

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол MPN равен b, кроме того, BM = R sin a, BN = R sin c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную NOMP на прямую, содержащую NP.

$\mbox{pr } NP = \mbox{pr } NO + \mbox{pr } OM + \mbox{pr } MP\,$

$\mbox{pr } NP = NP = BN \cos A = R \sin c \cos A\,$

$NO \perp NP \Rightarrow \mbox{pr } NO = 0\,$

$\mbox{pr } OM = OM \cos(\frac{\pi}{2} - \angle MON) = R \cos a \sin b\,$

$\mbox{pr } MP = MP \cos \angle MPN = MP \cos b = BM \cos (\pi - C) \cos b = - R \sin a \cos b \cos C\,$

Подставляем четыре последних выражения в первое и получаем:

$\sin c \cos A = \cos a \sin b - \sin a \cos b \cos C \,$

Применение

Применяя формулу пяти элементов вместе с некоторыми другими формулами сферической тригонометрии, можно, например, получить формулы преобразования между системами небесных координат: горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической^[3].

История

Формула пяти элементов была выведена Леонардом Эйлером в 18 веке^[4].

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Степанов Н.Н. Формулы пяти элементов // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 32—35. — 154 с.
2. ↑ Spherical Trigonometry на сайте MathWorld
3. ↑ Цесевич В.П. Что и как наблюдать на небе. — 6-е изд. — М.: Наука, 1984. — С. 68—74. — 304 с.
4. ↑ Сферическая тригонометрия — статья из Большой советской энциклопедии (3-е издание)