Теорема о трёх перпендикулярах

Формулировка теоремы

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Доказательство

Пусть $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AC$ — наклонная и $c$ — прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная проекции $BC$. Проведем прямую $CK$ параллельно прямой $AB$. Прямая $CK$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ (так как она параллельна $AB$), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, $CK$ перпендикулярна прямой $c$. Проведем через параллельные прямые $AB$ и $CK$ плоскость $\beta$ (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $\beta$, это $BC$ по условию и $CK$ по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой $AC$.

Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательство

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по теореме о трех перпендикулярах, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Пример использования

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Ссылки

• Опорные задачи