Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Сферический треугольник

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

$\varepsilon = A + B + C - \pi\,$

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа^[1]:15.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье^[1]:94:

$\operatorname{tg}\frac{\varepsilon}{4} = \sqrt{\operatorname{tg}\frac{p}{2} \operatorname{tg}\frac{p-a}{2}\operatorname{tg}\frac{p-b}{2}\operatorname{tg}\frac{p-c}{2}}, p=\frac{a+b+c}{2}\,$

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула^[1]:95:

$\operatorname{ctg}\frac{\varepsilon}{2} = \frac{\operatorname{ctg}\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{b}{2} + \cos C}{\sin C}$

Применение

Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку $S=R^2 \varepsilon\,$ (здесь $R\,$ — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах)^[1]:99.

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4} Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Ссылки

• Сферический избыток — статья в БСЭ
• Сферический избыток на сайте MathWorld