Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

$U^*U=UU^*=I \!$

где U^∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. U сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве, $\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.$
2. U — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. U сохраняет скалярное произведение, и
2. образ U — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество, даёт, что обратный оператор также ограничен. Очевидно, что U⁻¹ = U^∗.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если

$U^*U=UU^*=I$

где I единичный элемент.^[1]

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим.
• если оператор $\hat H$ эрмитов, то оператор $\hat U = \exp(i\hat H)$ унитарен.

Примеры

• Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.

• Вращения в R² — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на R³.

• В векторном пространстве C комплексных чисел умножение на число с модулем 1, то есть число вида e^{i θ} для θ ∈ R, является унитарным оператором. θ называется фазой. Можно заметить, что значение θ, кратное 2π, не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в C топологически эквивалентно окружности.

Свойства

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию f на L²(μ), для некоторого пространства с мерой (X, μ). Из U U* = I следует |f(x)|² = 1.

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы запрещены в квантовой механике.

Примечания

1. ↑ Doran Robert S. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. — New York: Marcel Dekker, 1986. — ISBN 0824775694