Спектральная теорема

В математике, в частности в линейной алгебре и функциональном анализе, термином спектральная теорема обозначают любой из целого класса результатов о линейных операторах или о матрицах. Не вдаваясь в детали можно сказать, что спектральная теорема даёт условия, при которых оператор (или матрица) может быть диагонализирован (т.е. представлен диагональной матрицей в некотором базисе; в бесконечномерных пространствах эта концепция о диагонализации требует некоторых уточнений). Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться операторами умножения — простейшими операторами, какие только могут быть. Говоря более абстрактным языком, спектральная теорема является утверждением о коммутативных C*-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

В этой статье речь идёт в основном о простейшей спектральной теореме для самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах, хотя, как было указано выше, спектральная теорема справедлива также для нормальных операторов в гильбертовых пространствах.

Конечномерный случай

Эрмитовы матрицы

Начнём с рассмотрения эрмитовой матрицы A на конечномерном вещественном или комплексном пространстве со скалярным произведением V. Условие эрмитовости матрицы состоит в том, что для всех векторов x и y пространства V выполняется равенство (Ax, y) = (x, Ay).

Эквивалентным образом условие эрмитовости может быть записано в виде A^* = A, где A^* является сопряжённо-транспонированной для A матрицей. Если A является вещественной матрицей, то последнее условие эквивалентно такому A^T = A (т.е. A является симметричной матрицей).

Напомним, что (ненулевой) вектор x называется собственным вектором линейного оператора A, если Ax = λx для некоторого скаляра λ. При этом λ называется собственным значением, соответствующим собственному вектору x.

Теорема. Существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A. Все собственные значения вещественны.

Дадим набросок доказательства для случая комплексного пространства.

Согласно основной теореме алгебры любая квадратная матрица с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один собственный вектор. Пусть теперь эрмитова матрица A имеет собственный вектор e₁. Рассмотрим подпространство K, состоящее из всех векторов, ортогональных к e₁ . В силу эрмитовости A подпространство K является инвариантным подпространством оператора A. Применяя указанные выше аргументы к подпространству K видим, что A имеет собственный вектор e₂ ∈ K. Сделав конечное число таких шагов мы завершим доказательство.

Спектральная теорема имеет место также и для симметричных матриц с вещественными коэффициентами. Однако в этом случае труднее доказать существование хоть одного собственного вектора.

Если выбрать собственные векторы оператора A в качестве ортонормированного базиса, то в этом базисе матрица оператора A будет диагональной. Это свойство можно выразить по-другому, сказав что A является линейной комбинацией попарно ортогональных проекций, называемых спектральным разложением A. В самом деле, пусть

$V_\lambda = \{\,v \in V: A v = \lambda v\,\}$

будет подпространством, состоящим из собственных векторов, отвечающих собственному значению λ. Заметим, что это определение не зависит от конкретного выбора собственных векторов. Всё пространство V является прямой суммой взаимно ортогональных подпространств V_λ, где индекс пробегает все возможные собственные значения. Пусть P_λ обозначает ортогональную проекцию на V_λ и пусть λ₁,..., λ_m обозначают все собственные значения A. Тогда спектральное разложение A можно записать в виде

$A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\dots+\lambda_m P_{\lambda_m}.$

Спектральное разложение является частным случаем разложения Шура, а также специальным случаем сингулярного разложения.

В бесконечномерном случае спектральное разложение линейного оператора A задаётся интегралом

$A =\int_{\sigma} \lambda P(d\lambda),$

где σ обозначает спектр оператора A, а P обозначает оператор проектирования, а интегрирование ведётся по мере, принимающей значения в пространстве операторов проектирования.

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть A является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. A называют нормальным, если A^* A = A A^*. Можно доказать, что A является нормальным если и только если он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем A = U T U^*, где U является унитарным оператором, а T — верхнетреугольным. Поскольку A является нормальным, то T T^* = T^* T. Следовательно, T является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, A является нормальным если и только если существует унитарная матрица U такая, что A=U Λ U^*, где Λ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями A, а векторы-столбцы матрицы U являются собственными векторами A (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы Λ не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема. Пусть A является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве V. Существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A. При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор A умножения на независимую переменную в пространстве L²[0, 1], т.е. [A φ](t) = t φ(t)).

Теорема. Пусть A является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве H. Тогда существуют пространство с мерой (X, Σ, μ), вещественнозначная измеримая функция f на X и унитарный оператор U:H → L²_μ(X) такие, что U^* T U = A, где T является оператором умножения, т.е. [Tφ](x) = f(x) φ(x).

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь f может быть комплекснозначной.

Альтернативная формуировка спектральной теоремы позволяет записать оператор A как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье).

Литература

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
• Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241–247