Унитарная матрица

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: $U^\dagger U = UU^\dagger = I$. Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию $U^{-1}=U^\dagger$.

Унитарная матрица, элементы которой вещественны, является ортогональной.

Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы $A$ являются эквивалентными:

1. $A$ — унитарна.
2. $A^\dagger$ — унитарна.
3. Столбцы матрицы $A$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.
4. Строки матрицы $A$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.

Интерпретация

Унитарная матрица представляет преобразование, переводящее ортонормированный базис комплексного векторного пространства размерности, соответствующей ее размеру, в ортонормированный базис. (Это верно для любого ортонормированного базиса).

Это эквивалентно утверждению, что преобразование, представляемое унитарной матрицей, сохраняет скалярное произведение.

Свойства

• Всякая унитарная матрица является нормальной.
• Произведение унитарных матриц также является унитарной матрицей.
• Для всякой унитарной матрицы $U$ существует такая унитарная матрица $V$, что $V^*UV$ — диагональна.
• Множество всех унитарных матриц порядка $n$ по умножению образует унитарную группу $U(n)$ — (алгебраическую) группу Ли над полем вещественных чисел.

Если определитель унитарной матрицы $A$ равен единице, её называют специальной унитарной матрицей. Модуль определителя унитарной матрицы всегда равен 1.

Множество всех специальных унитарных матриц порядка $n$ по умножению образуют специальную унитарную группу $SU(n)$. Группы $SU(2)$ и $SU(3)$ играют важную роль при изложении квантовой механики и физики элементарных частиц.

См. также

• Эрмитова матрица
• Унитарный оператор
• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа
• Группа Ли
• Ортонормированный базис
• Гильбертово пространство
• Группа вращений