- *-алгебра
-
*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.
Содержание
*-кольцо
*-кольцо — кольцо с унарной операцией * которое является
- антиавтоморфизмом, то есть
- и инволюцией, то есть
Такое кольцо еще называется — кольцо с инволюцией.
*-алгебра
*-алгебра A это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в
Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).
Тогда * сопряженно-линейное, то есть
- .
*-гомоморфизм — это гомоморфизм алгебр который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:
- Элементы для которых называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
- Элементы для которых называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
- Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде .
C*-алгебра
C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для которой выполняется C*-свойство:
Оба условия эквивалентны.
Также они эквивалентны В*-свойству
Примеры
- Самым известным примером являются комплексные числа с операцией сопряжения.
- С помощью процедуры Кейли-Диксона образуются алгебры с операцией сопряжения: комплексные числа, кватернионы, октавы.
- Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
- Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.
Свойства
Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:
- Если для 2 в алгебре существует обратный элемент, тогда та является ортогональными идемпотентамы. Если их выбрать в базис, то алгебра как векторное пространство разлагается в прямую сумму подпространств с симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
- Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
- Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.
См. также
Библиография
- H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, стр. 142-150.
Категория:- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.