Струя (математика)

Струя (математика)

Струя отображения f на многообразии M — это операция, сопоставляющая каждой точке x из M некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора f в точке x). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.

Содержание

Струи на евклидовом пространстве

Аналитическое определение

Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на p-адический анализ и т. п.

Пусть C^\infty(\R^n,\;\R^m) — векторное пространство гладких отображений f\colon\R^n\to\R^m. Пусть k — неотрицательное целое число, p — точка в \R^n. Определим класс эквивалентности E_p^k в этом пространстве следующим образом: две функции f и g эквивалентны порядка k, если они имеют равное значение в точке p и все их частные производные до k-го порядка включительно совпадают в этой точке.

Пространство k-струй (струй k-го порядка) на C^\infty(\R^n,\;\R^m) в точке p — это множество классов эквивалентности E^k_p; обозначается как J^k_p(\R^n,\;\R^m).

k-струя гладкого отображения f\in C^\infty(\R^n,\;\R^m) в точке p — это класс эквивалентности в J^k_p(\R^n,\;\R^m), содержащий f.

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть C^\infty(\R^n_p,\;\R^m) — векторное пространство ростков гладких отображений f\colon\R^n\to\R^m в точке p\in\R^n. Пусть \mathfrak{m}_p — идеал отображений, равных нулю в точке p (это максимальный идеал локального кольца C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)), а \mathfrak{m}_p^{k+1} — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке p с точностью до k-го порядка. Определим пространство струй в точке p как

J^k_p(\R^n,\;\R^m)=C^\infty(\R^n_p,\;\R^m)/\mathfrak{m}_p^{k+1}.

Если f\colon\R^n\to\R^m — гладкое отображение, то можно определить k-струю f в точке p как элемент J^k_p(\R^n,\;\R^m), для которого

J^k_pf=f\,(\bmod\,\mathfrak{m}_p^{k+1}).

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами J^k_p(\R^n,\;\R^m) и \R^m[z]/(z^{k+1}), поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство J^k_p(\R^n,\;\R^m) струй в точке p\in\R^n. Подпространство, содержащее те струи отображения f, для которых f(p)=q, обозначается

J^k_p(\R^n,\;\R^m)_q=\{J^kf\in J^k_p(\R^n,\;\R^m)\mid f(p)=q\}.

Струи сечений гладкого расслоения

Пусть Y\to X — гладкое расслоение. Струёй k-го порядка j^k_xs его сечений s называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до k-го порядка в точке x совпадают. Струи k-го порядка образуют гладкое многообразие J^kY, называемое многообразием струй.

Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй J^kY.

Литература

  • Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
  • Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
  • Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.
  • Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Струя (математика)" в других словарях:

  • Струйное расслоение — Эта статья или секция  грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть генерирован программой переводчиком или человеком со слабыми познаниями в языке статьи оригинала. Пожалуйста, не поленитесь улучшить перевод.… …   Википедия

  • Харьков — У этого термина существуют и другие значения, см. Харьков (значения). Город Харьков укр. Харків Флаг Герб …   Википедия

  • КОГЕН — (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… …   История Философии: Энциклопедия

  • КУРАНТ Рихард (1888-1972) — математик и философ, ученик Гильберта. Иностранный член АН СССР (1966). Получил образование в Университетах Бреслау (Вроцлав, Польша) и Цюриха (Швейцария). Профессор Геттингенского университета (Германия, 1920 1933), сменил Ф.Клейна на посту… …   История Философии: Энциклопедия

  • Великобритания (государство) — Великобритания (Great Britain); официальное название ‒ Соединённое Королевство Великобритании и Северной Ирландии (The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland). I. Общие сведения В. ‒ островное государство на С. З. Европы; занимает… …   Большая советская энциклопедия

  • Великобритания — I Великобритания (Great Britain)         остров в Атлантическом океане, входящий в группу Британских островов (См. Британские острова). См. Великобритания (государство). II Великобритания (Great Britain)         официальное название Соединённое… …   Большая советская энциклопедия

  • Пушкин, Александр Сергеевич — — родился 26 мая 1799 г. в Москве, на Немецкой улице в доме Скворцова; умер 29 января 1837 г. в Петербурге. Со стороны отца Пушкин принадлежал к старинному дворянскому роду, происходившему, по сказанию родословных, от выходца "из… …   Большая биографическая энциклопедия

  • ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ — раздел математич. анализа и дифференциальной геометрии, в к ром изучаются свойства отображений, сохраняющихся при заменах координат в образе и прообразе отображения (или при заменах, сохраняющих нек рые дополнительные структуры); предлагается… …   Математическая энциклопедия

  • Рим Древний — (лат. Roma), город, возникший (согласно античному преданию, в 754/753 до н. э.) из группы поселений, к середине 3 в. до н. э. подчинивший себе весь Апеннинский полуостров; в дальнейшем ‒ средиземноморская держава, включавшая западную и юго… …   Большая советская энциклопедия

  • Рим — I         Древний (лат. Roma), город, возникший (согласно античному преданию, в 754/753 до н. э.) из группы поселений, к середине 3 в. до н. э. подчинивший себе весь Апеннинский полуостров; в дальнейшем средиземноморская держава, включавшая… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»