Порядковая статистика

Поря́дковые стати́стики в математической статистике - это упорядоченная по возрастанию выборка. Это статистика, занимающая строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ - конечная выборка из распределения $\mathbb{P}^X$, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\omega \in \Omega$ и $x_i = X_i(\omega),\; i=1,\ldots,n$. Перенумеруем последовательность $\{x_i\}_{i=1}^n$ в порядке возрастания, так что

$x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n-1)} \le x_{(n)}$.

Случайная величина $X_{(k)}(\omega) = x_{(k)}$ называется $k$-ой порядковой статистикой исходной выборки.

Замечания

Очевидно из определения:

• $X_{(1)} = \min(X_1,\ldots,X_n)$;
• $X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n)$.

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения

• Пусть дана независимая выборка $X_1,\ldots,X_n$ из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения $f_X$ и функцией распределения $F_X$. Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид (доказательство, с. 12, з. 1.18):

$f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} [F_X(x)]^{k-1} [1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$.

• Случайный вектор $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top}$, где $1\le j < k \le n$ также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:

$f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_j,x_k) = \left\{ \begin{matrix} \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} [F_X(x_j)]^{j-1} [F_X(x_k) - F_X(x_j)]^{k-j-1}[1-F_X(x_k)]^{n-k} f_X(x_j) f_X(x_k), & x_j \le x_k \\ 0, & x_j > x_k \end{matrix} \right.$.

Пример

Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5.

Пусть $U_1,\ldots,U_n \sim \mathrm{U}[0,1]$ - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

• $f_{U_{(k)}}(u) = \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} u^{k-1} [1-u]^{n-k},\quad u \in [0,1]$,

то есть $U_{(k)} \sim \mathrm{B}(k,n-k+1)$, где $\mathrm{B}$ - бета распределение;

• $f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_j,u_k) = \frac{n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!} u_j^{j-1} [u_k-u_j]^{k-j-1}[1-u_k]^{n-k}, \quad j<k, \quad 0 \le u_j \le u_k \le 1$;
• $f_{U_{(1)},\ldots,U_{(n)}}(u_1,\ldots,u_n) = n!,\quad 0 \le u_1 \le \cdots \le u_n \le 1$.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.