Доказательные вычисления

Доказательные вычисления — целенаправленные вычисления на ЭВМ, комбинируемые с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов и доказательству теорем^[1].

Достоверные вычисления

Одним из часто применяемых методов доказательных вычислений являются достоверные вычисления. Под достоверными вычислениями понимаются численные методы с автоматической верификацией точности получаемых результатов^[2]. Довольно часто доказательные вычисления строятся на основе интервального анализа, где вместо вещественных чисел рассматриваются интервалы, которые определяют точность величин. Интервальный анализ широко применяется для вычислений с гарантируемой точностью в условиях машинной арифметики.

Примеры

В теории чисел

Благодаря тому, что теория чисел во многом оперирует целыми числами, использование доказательных вычислений в теории чисел оказывается очень плодотворным.

• Утверждается, что число Мерсенна $M_{43112609} = 2^{43112609} - 1$ является простым. Проверить этот факт теоретически возможно человеку, но практически только с использованием вычислительной техники.
• Л. Эйлер выдвинул гипотезу, что уравнение $x^5_1+x^5_2+x^5_3+x^5_4=x^5_5$ не имеет решений в целых положительных числах. Однако позднее было показано, что существует как минимум одно решение:

$x_1=27$, $x_2=84$, $x_3=110$, $x_4=133$, $x_5=144$.

Причем это решение было найдено с помощью перебора на компьютере^[1].

В теории графов

Одно из наиболее известных успехов применения доказательных вычислений в теории графов является решение проблемы четырёх красок. Эта знаменитая задача была поставлена 1852 году и формулируется следующим образом: «выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета». В 1976 году К. Аппель и В. Хакен с помощью доказательных вычислений показали, что так можно раскрасить любую карту.

В гидродинамике

Применением доказательных вычислений в математических задачах гидродинамики систематически занимались в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН под руководством К. И. Бабенко. Примером является следующая теорема, полученная с помощью доказательных вычислений^[3].

Теорема. При $\alpha=1.02$ и $R=6000$ спектральная задача Орра-Зоммерфельда (англ.) имеет собственное значение, лежащее в полуплоскости $\mathrm{Re}\,\lambda>0$. Следовательно, в линеаризованной постановке при этих параметрах течение Пуазёйля неустойчиво.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Бабенко К. И.  Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
2. ↑ Кулиш У., Рац Д., Хаммер Р., Хокс М. Достоверные вычисления. Базовые численные методы. — РХД, 2005.
3. ↑ Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР. — 1983. — Т. 273. — № 6. — С. 1289—1294.

См. также

• Математическое доказательство
• Экспериментальная математика

Ссылки

• Интервальный анализ и его приложения
• К. И. Бабенко О доказательных вычислениях и математическом эксперименте на ЭВМ // УМН. — 1985. — Т. 40. — № 4(244). — С. 137—138.
• Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН. . — 1988. — Т. 303. — № 5. — С. 1033—1037.