Теория графов

Теория графов
Граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V×V.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Содержание

История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Терминология теории графов

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов «граф» или «сеть». Мы выбрали термин «сеть», так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях». Аналогичная ситуация с терминами «вершина/точка».

Изображение графов на плоскости

При изображении графов на рисунках чаще всего используется следующая система обозначений: вершины графа изображаются точками или, при конкретизации смысла вершины, прямоугольниками, овалами и др. где внутри фигуры раскрывается смысл вершины (графы блок-схем алгоритмов). Если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки (фигуры) соединяются отрезком или дугой. В случае ориентированного графа дуги заменяют стрелками, или явно указывают направленность ребра. Различают планарные и непланарные графы. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на рисунке без пересечения рёбер (простейшие — треугольник или пара связанных вершин), иначе — непланарный. В том случае, если граф не содержит циклов (путей однократного обхода рёбер и вершин с возвратом в исходную вершину), его принято называть «деревом». Важные виды деревьев в теории графов — бинарные деревья, где каждая вершина имеет одно входящее ребро и ровно два выходящих, или является конечной — не имеющей выходящих рёбер.

Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, являются ли два изображения моделями одного и того же графа или нет (другими словами, изоморфны ли соответствующие изображениям графы). В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.

Некоторые задачи теории графов

К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.

Применение теории графов

Литература

  • Химические приложения топологии и теории графов. Под ред. Р. Кинга. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

Примечания

  1. ↑ Г. С. Яблонский, В. И. Быков, А. Н. Горбань, Кинетические модели каталитических реакций, Новосибирск: Наука (Сиб. отделение), 1983.- 255 c.
  2. ↑ Курейчик В. М., Глушань В. М., Щербаков Л. И. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР. М.: Радио и связь, 1990. 216 с.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Теория графов" в других словарях:

  • теория графов — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] теория графов Математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее… …   Справочник технического переводчика

  • Теория графов — [graph theo­ry] математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее исходного понятия граф: теоретико множественной или геометрической. В первом случае предметом теории являются графы как некие объекты,… …   Экономико-математический словарь

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — англ. theory, graph; нем. Graphentheorie. Теория, обосновывающая способы построения графов, выражающих зависимости или связи в форме геометрических схем между различными единицами той или иной совокупности. см. ГРАФ. Antinazi. Энциклопедия… …   Энциклопедия социологии

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — одна из ветвей топологии. Графом называют геометрич. схему, представляющую собой систему линий, связывающих какие то заданные точки. Точки наз. вершинами, а связывающие их линии – ребрами (или дугами). Все задачи Т. г. могут решаться как в… …   Философская энциклопедия

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — область дискретной математики, особенностью к рой является геометрич. подход к изучению объектов. Основной объект Т.г. граф. Граф [G (V, Е)] задается множеством вершин (V) и набором (Е) неупорядоченных и упорядоченных пар вершин. Неупорядоченная… …   Российская социологическая энциклопедия

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — англ. theory, graph; нем. Graphentheorie. Теория, обосновывающая способы построения графов, выражающих зависимости или связи в форме геометрических схем между различными единицами той или иной совокупности. См. ГРАФ …   Толковый словарь по социологии

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — раздел математики, изучающий свойства различных графов. Многие разделы экономической кибернетики используют для решения своих задач методы Т.г. Методами Т.г. решаются транспортные задачи, задачи календарного планирования промышленного… …   Большой экономический словарь

  • Теория графов и мографов — Теорема 3.27. замена любого ребра (a, b)in Gкритического графа G на k вершинно непересекающихся простых цепей длинны 3 тогда и только тогда приводят к образованию критического графа T 3(G), когда k удовлетворяет одному из следующих условий: # k=1 …   Википедия

  • ТЕОРИЯ ГРАФОВ — область математики, предметом исследования которой являются геометрические схемы (графы), состоящие из линий, некоторым образом соединяющих определенные точки. Геометрическая наглядность сочетается в Т. г. с математической содержательностью и… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • Граф (теория графов) — Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами В математической теории графов и информатике граф  это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи  как дуги, или рёбра. Для… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»