Численные методы

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием компьютеров. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач.

К задачам вычислительной математики относят:

• решение систем линейных уравнений
• нахождение собственных значений и векторов матрицы
• нахождение сингулярных значений и векторов матрицы

• решение нелинейных алгебраических уравнений
• решение систем нелинейных алгебраических уравнений
• решение дифференциальных уравнений (как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными)
• решение систем дифференциальных уравнений
• решение интегральных уравнений

• задачи аппроксимации
• задачи интерполяции
• задачи экстраполяции
• задачи численной оптимизации

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так например если взять машинное число длиной в 8 байт, то в нём можно запомнить только 2⁶⁴ разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Ссылки

• Материалы по численным методам
• Из истории вычислительной математики