Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — это классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Если точки $A',B'$ и $C'$ лежат соответственно на сторонах $BC,CA$ и $AB$ треугольника $\triangle ABC$ или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда $\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.$ где $\frac{AB'}{B'C}$, $\frac{CA'}{A'B}$ и $\frac{BC'}{C'A}$ обозначают отношения направленных отрезков.

В частности, из теоремы следует соотношение для длин:

$\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.$

Доказательство  

Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C' . Поскольку треугольники $\triangle AC'B'$ и $\triangle CKB'$ подобны (по двум углам), то

$\frac{|AC'|}{|CK|} = \frac{|B'A|}{|B'C|}$.

Так как подобными являются также треугольники $\triangle BC'A'$ и $\triangle CKA'$, тем самым

$\frac{|CK|}{|C'B|} = \frac{|A'C|}{|BA'|}$.

Исключая CK, получаем

$\frac{|AC'|}{|C'B|}\cdot\frac{|BA'|}{|A'C|}\cdot\frac{|CB'|}{|B'A|} = 1$.

Остаётся заметить, что возможны два расположения точек $A',B'$ и $C'$: либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

$\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.$

Вариации и обобщения

• Тригонометрический эквивалент:

$\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1$, где все углы — ориентированные.

• В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

$\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.$

• В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

$\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.$

• Теорема Менелая является следствием следующей теоремы:

Теорема (Дубовик^{[источник не указан 645 дней]}): Рассмотрим на комплексной плоскости положительно ориентированный ΔАВС (обход по его вершинам осуществляется против часовой стрелки). Пусть $z_1$,$z_2$, $z_3$ - комплексные числа, причём $\frac{z_1z_2z_3}{(z_1-1)(z_2-1)(z_3-1)}=1$. Рассмотрим точки плоскости А₁, В₁, С₁ с комплексными координатами:

$\begin{cases} a_1=(a-c)z_1+c; \\ b_1=(b-a)z_2+a; \\ c_1=(c-b)z_3+b.\end{cases}$

Точки А₁, В₁, С₁ коллинеарны тогда и только тогда, когда число $\frac{z_1}{1-z_2}\in R$.

Действительность одного из чисел $z_1$,$z_2$, $z_3$, в данной теореме, влечёт действительность двух других. Тогда точки А₁, В₁, С₁ лежат на прямых АС, АВ и ВС соответственно и мы получаем теорему Менелая.

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (ок. 100 г. н. э.). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

• Теорема Сальмона

См. также

• Прямая Гаусса
• Теорема Чевы

Примечания

1. ↑ на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

Ссылки

• Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0
• Шаль, Мишель О теореме Птоломея относительно треугольника, пересеченного трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
• Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.