Теорема Чевы

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях. Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Три чевианы $AA', BB', CC'$ треугольника $\triangle ABC$ конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда $|BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|$

Эту теорему можно обобщить на случай когда точки $A', B', C'$ лежат на продолжениях сторон $BC, CA, AB$. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков $XY$ и $ZT$ на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается ${XY}/{ZT}$

Пусть $A', B', C'$ лежат на прямых $BC, CA, AB$ треугольника $\triangle ABC$. Прямые $AA', BB', CC'$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда $\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1$

Вариации и обобщения

• Тригонометрическая теорема Чевы:

  $\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.$

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть, $\angle XYZ$ есть угол на который надо повернуть прямую $XY$ против часовой стрелки чтоб получить прямую $YZ$.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66-68. — ISBN 5-94057-170-0
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem seсantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.

См. также

• Теорема Менелая