Лемниската Бернулли

Лемниската и её фокусы

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности.

История

Название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus и он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай^[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно (англ.), опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером^[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами $2c$, расположены они на оси $OX$, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)$

Вывод  

Фокусы лемнискаты — $F_1(-c;0)$ и $F_2(c;0)$. Возьмём произвольную точку $M(x;y)$. Произведение расстояний от фокусов до точки $M$ есть

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}$,

и по определению оно равно $c^2$:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=c^2$

Возводим в квадрат обе части равенства:

$\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=c^4$

Раскрываем скобки в левой части:

$\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=c^4$

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2x^2c^2+2y^2c^2=0$

Выносим общий множитель и переносим:

$\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$

Далее можно сделать замену $a^2=2c^2$, хотя это не обязательно:

$\textstyle (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

В данном случае $a$ — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$

Вывод  

$\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4=2c^{2}x^2-2c^{2}y^2$

Приводим к виду

$\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2=0$

Это квадратное уравнение относительно $y^2$. Решив его, получим

$\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{c^4+4x^{2}c^2}$

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

• в полярных координатах:

$\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.$

Вывод  

$\textstyle (x^2+y^2)^2=2c^2(x^2-y^2)$

Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим:

$\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2=2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)$

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\textstyle\rho^4=2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)$

Используем ещё одно тождество: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha$:

$\textstyle\rho^4=2c^2 \rho^2\cos 2\varphi$

Делим на $\rho^2$, предполагая, что $\rho\neq 0$:

$\textstyle\rho^2=2c^2\cos 2\varphi$

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить $a^2=2c^2$:

$\textstyle\rho^2=a^2\cos 2\varphi$

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}$, где $p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)$

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от $-\infty$ до $+\infty$. При этом, когда параметр стремится к $-\infty$, точка кривой стремится к $(0;0)$ из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к $+\infty$, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения  

Уравнение лемнискаты в полярной системе

$\textstyle\rho^2=2c^2\cos 2\varphi$

подставим в формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ возведённые в квадрат:

$\textstyle\begin{cases}x^2=2c^2\cos2\varphi\cos^2\varphi\\y^2=2c^2\cos2\varphi\sin^2\varphi\end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение:

$x^2=2c^2\cos2\varphi\cos^2\varphi$

Используем тригонометрические формулы $\textstyle cos 2\alpha=\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$ и $\textstyle\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$:

$x^2=2c^2\dfrac{1-\operatorname{tg}^2\varphi}{(1+\operatorname{tg}^2\varphi)^2}$

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+1}$:

$x^2=2c^2\dfrac{1-\left(\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)+1}\right)^2}{\left(1+\left(\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)-1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)+1}\right)^2\right)^2}$

После преобразований:

$x^2=2c^2\dfrac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\left(1+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)^2}{\left(1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)^2}$

Извлекаем корень из обеих частей равенства:

$x=c\sqrt{2}\dfrac{\left(1+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)\sqrt{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}}{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}$

Если произвести замену $\textstyle p^2=\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$, то получаем искомое выражение для $x$:

$x=c\sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4}$

Второе уравнение выводится аналогично с применением формулы $\textstyle\sin^2\varphi=\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$.

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пример  

Пусть, например, $F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)$ — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — $\textstyle x''Oy''$), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

$\textstyle \Big((x'')^2 + (y'')^2\Big)^2 - 2c^2 \Big((x'')^2 - (y'')^2\Big) = 0$

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$. Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка $F_1F_2$ — $\textstyle F\left (\frac{1}{2};0\right )$, значит перенос только на $\textstyle+\frac{1}{2}$ по оси $OX$:

$\begin{cases}x'=x-x_0 \\ y'=y-y_0\end{cases}=\begin{cases}x'=x-\frac{1}{2} \\ y'=y\end{cases}$

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

$2c=|F_1 F_2|=\sqrt{(2+1)^2+(-2-2)^2}=5$

значит $c=\frac{5}{2},\,2c^2=\frac{25}{2}$.

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона $F_1 F_2$ к $OX$:

$\sin\alpha=\frac{-2-2}{5}=-\frac{4}{5},\,\,(\alpha\approx -53^\circ)$

$\cos\alpha=\frac{2-(-1)}{5}=\frac{3}{5}$

Формулы преобразования:

$\begin{cases}x''=x'\cos\alpha+y'\sin\alpha \\ y''=-x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\end{cases}=\begin{cases}x''=\frac{3}{5}x'-\frac{4}{5}y' \\ y''=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y'\end{cases}$

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

$\begin{cases}x''=\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y \\ y''=\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\end{cases}$

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

$\textstyle \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 + \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg)^2 - 2c^2 \bigg(\Big(\frac{3}{5}(x-\frac{1}{2})-\frac{4}{5}y\Big)^2 - \Big(\frac{4}{5}(x-\frac{1}{2})+\frac{3}{5}y\Big)^2\bigg) = 0$

После преобразований:

$x^4+y^4+24xy-2xy^2+2x^2y^2-2x^3+5x^2-4x-3y^2-12y+\frac{15}{16}=0$

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами $F_1(-1;2),\,F_2(2;-2)$ в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы $\textstyle\pm\frac{\pi}{4}$;
2. Для любой точки $A$ лемнискаты выполняется: $AP=PO$, где $AP$ — биссектриса $\angle F_1AF_2$;
3. $\textstyle\mu=2\varphi+\frac{\pi}{2}$ для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при $a=c$, синусоидальной спирали с индексом $n=2$ и лемнискаты Бута при $c=0$, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

  $\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}$

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Лемнискату описывает окружность радиуса $\textstyle a=c\sqrt{2}$, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства от синусоидальной спирали

• Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
• Касательные в двойной точке составляют с отрезком $F_1F_2$ углы $\textstyle\pm\frac{\pi}{4}$.
• Угол $\mu$, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен $\textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2}$.
• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит леминискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
• Радиус кривизны лемнискаты есть $\textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho}$

Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: $R=\frac{\rho}{(m+1)\cos m\varphi}$ при $m=2,$ однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: $\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}$ Формулы перехода к полярной системе координат: $\begin{cases}x=\rho\cos{\varphi} \\ y=\rho\sin{\varphi}\end{cases}$ Выражаем $\textstyle\rho$: $\begin{cases}\rho=\frac{x}{\cos{\varphi}} \\ \rho=\frac{y}{\sin{\varphi}}\end{cases}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем $x$ и $y$: $\begin{cases}\frac{x^2}{cos^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi} \\ \frac{y^2}{sin^2{\varphi}}=2c^2\cos{2\varphi}\end{cases}= \begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}$ —- это параметрическое уравнение относительно $\varphi$. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $\textstyle p$, указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: $R=\frac{\Big((x')^2+(y')^2\Big)^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}$ Находим производные по $\varphi$: $x'=c\sqrt{2}\left ( -\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\cos{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=-c\sqrt{2}\frac{\sin{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}$ $x''=-c\sqrt{2}\frac{3\cos{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\sin{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\cos{\varphi}+\cos{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}$ $y'=c\sqrt{2}\left ( -\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}-\sin{\varphi}\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\right )=c\sqrt{2}\frac{\cos{3\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}$ $y''=c\sqrt{2}\frac{-3\sin{3\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}+\frac{\sin{2\varphi}}{\sqrt{\cos{2\varphi}}}\cos{3\varphi}}{\cos{2\varphi}}=\ldots=-c\sqrt{2}\frac{2\sin{\varphi}+\sin{5\varphi}}{(\cos{2\varphi})^{3/2}}$ Подставляем в формулу радиуса: $R=\ldots=\frac{\left (\frac{2c^2}{cos{2\varphi}}\right )^{3/2}}{\frac{6c^2}{\cos{2\varphi}}}=\frac{c\sqrt{2}}{3\sqrt{\cos{2\varphi}}}$ Возвращаемся к уравнению лемнискаты: $\rho^2=2c^2\cos{2\varphi}\,\,\Rightarrow\,\,\sqrt{\cos{2\varphi}}=\frac{\rho}{c\sqrt{2}}$ Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: $R=\frac{2c^2}{3\rho}$

• Натуральное уравнение кривой имеет вид

  $S=3\int\frac{\mathrm{d}R}{\sqrt{\left(\frac{3}{c}R\right)^4-1}}$

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

  $\textstyle \rho^{\frac{2}{3}}=(c\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}\cos\frac{2}{3}\varphi.$

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства

Гравитационное свойство лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных.
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
• Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол $45^\circ$ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
• Площадь полярного сектора $\varphi\in[0,\alpha]$, при $\textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}$:

  $\textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha$

  • В частности, площадь каждой петли $\textstyle 2S\left (\frac{\pi}{4}\right )=c^2$, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной $c\sqrt{2}$.
• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
• Длина дуги лемнискаты между точками $\varphi_1=0$ и $\varphi_2=\varphi$ выражается эллиптическим интегралом I рода:

  $\textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),$ где $2\sin^2\varphi=\sin^2\theta.$

  • В частности, длина всей лемнискаты

    $\textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}9 c.$

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса $\textstyle\frac{c}{\sqrt{2}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины $O$ фокусного отрезка строится произвольная секущая $OPS$ ($P$ и $S$ — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки $OM_1$ и $OM_2$, равные хорде $PS$. Точки $M_1$, $M_2$ лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — $A$ и $B$ — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — $C$ и $D$). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: $\textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB$. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — $A$ и $O$ соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок $OC$ соединяется не с концом центрального $BD$, а с его серединой. Пропорции также другие: $\textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO$.

• 

  Построение лемнискаты при помощи секущих

• 

  Шарнирный метод

• 

  Механизм Ватта (анимация)

• 

  Другой вариант шарнирного метода

См. также

• Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
• Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
• Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения
• Лемниската Бута
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Бесконечность
• Аттрактор Лоренца

Примечания

1. ↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых  (англ.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
2. ↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121-123.

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23-25.
• Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155-162.
• Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110-117.

Ссылки

• Статья на сайте Wolfram MathWorld  (англ.). Проверено 15 июня 2010.
• Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables  (фр.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.
• Фаньяно и длина дуги лемнискаты  (итал.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 15 июня 2010.