Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Основные тригонометрические формулы

Формула	Допустимые значения аргумента	Номер
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	$\forall \alpha$	(1)
$\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z$	(2)
$\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z$	(3)

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на $~ \cos^2 \alpha$ и $~ \sin^2 \alpha$ соответственно.

Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(4)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(5)
$\operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta}$	(6)
$\operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}$	(7)

Формула (6) получается при делении (4) на (5). А формула (7) — при делении (5) на (4)

Вывод формул  

$\sin ( \alpha + \beta) ,\ \cos ( \alpha + \beta)$

На Рис. 4 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Рис. 4. К выводу формул суммы углов

Принято, что AE = 1, $\angle BAE = \alpha, \angle EAC = \beta, \angle BAC = \angle DEC = \alpha + \beta$.

Так как AE = 1, то

$(BE) = \sin \alpha$

$(AB) = \cos \alpha$

$(DE) = \sin \beta$

$(AD) = \cos \beta$.

Из треугольника ABC следует:

$\sin ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (14)$

$\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (15)$

Из треугольника CDE следует:

$\sin ( \alpha + \beta) = \frac{CD}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (16)$

$\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \beta}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (17)$.

Приравниваем правые части уравнений (14) и (16):

$\frac{ (CD)}{(CE)} = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)}$

$(CD) \cos \beta + (CD)^2 = (CE) \sin \alpha + (CE)^2 \qquad (18)$

Приравниваем правые части уравнений (15) и (17) и решаем, полученное уравнение относительно CE:

$\frac{ \sin \beta}{(CE)} = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)}$

$(CE) = \frac { \sin \beta ( \cos \beta + (CD))}{ \cos \alpha} \qquad \qquad \qquad (19)$.

Подставляем (CE) из (19) в (18):

$(CD) = \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)} \qquad (20)$.

Полученное значение для CD подставляем в (15):

$\cos( \alpha + \beta) = \frac { \cos \alpha}{ \cos \beta + \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) }} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) (1 - \cos^2( \beta)) - \sin^2( \beta) (1 - \sin^2( \alpha)) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta)} =$

$= \frac {( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))( \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta)}$.

Итак:

$\cos( \alpha + \beta) = \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta)$.

Из формулы (15) следует:

$(CD) = \frac {\cos( \alpha) - \cos( \beta) \cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)} \qquad \qquad (21)$

Из формулы (16) и (17) следует:

$(CD) = \sin( \beta) \frac{\sin( \alpha + \beta)}{ \cos( \alpha + \beta) }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22)$

Приравниваем правые части (21) и (22) и находим $\sin( \alpha + \beta)$:

$\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta) \cos( \alpha + \beta)}{ \sin( \beta)}\qquad \qquad \qquad$

Подставляем значение $\cos( \alpha + \beta)$:

$\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta)( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha)(1 - \cos^2( \beta)) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha) \sin^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)}$

Итак:

$\sin( \alpha + \beta) = \sin( \alpha) \cos( \beta) + \cos( \alpha) \sin( \beta)$.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (4), (5) , (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
$\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(23)
$\operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}$ $\operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}$	(24)
$\operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$	(25)
$\operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}$

Примечания  

для формулы $\operatorname{tg} 2 \alpha$:

• $\alpha \not=\frac{\pi}4 + \frac{\pi}2 n, n \in \mathbb Z$
• $\alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n\in \mathbb Z$

для формулы $\operatorname{ctg} 2 \alpha$: $\alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n \in \mathbb Z$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,$
$\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,$
$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}$
$\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}$

Примечания  

для формулы $\operatorname{tg} 3\alpha$: $\alpha \not=\frac{\pi}6 + \frac{\pi}3 n, n \in \mathbb Z$
для формулы $\operatorname{ctg} 3\alpha$: $\alpha \not=\frac{\pi}3 n + \pi n, n \in \mathbb Z$;

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

Синус		Косинус		Произведение
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	(26)	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	(27)	$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}$
$\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}$		$\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}$		$\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}$
$\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}$
$\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}$		$\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}$		$\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}$

Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведений функций
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta)}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(30)

Вывод формул преобразования произведений функций  

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

$\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta =$

$= 2 \sin \alpha \cos \beta$.

То есть:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$    — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(31)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(32)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(33)
$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(34)
$\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(35)

Вывод формул преобразования суммы функций  

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:

$\alpha = \frac{ \alpha + \beta}{2}$

и

$\beta = \frac{ \alpha - \beta}{2}$.

Подставим эти выражения в формулу (28):

$\sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) = \frac{ \cos \beta - \cos \alpha}{2}$, то есть

$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2})$    — формула (33).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (6) следует:

$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg}( \alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg} ( \alpha) \operatorname{tg}( \beta)) =$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}$, то есть

$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} \qquad \qquad$   — формула (34).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :$\alpha\ + \beta\ + \gamma\ = 180^\circ$ :

$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin\alpha\ \sin\beta\ \sin\gamma$

Решение простых тригонометрических уравнений

• $\sin x = a.$

Если $|a|>1$ — вещественных решений нет.

Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

• $\cos x = a.$

Если $|a|>1$ — решений нет.

Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

• $\operatorname{tg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

• $\operatorname{ctg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$).

$\sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$	$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$
$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$	$\operatorname{ctg}\, \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}$
$\sec\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$	$\operatorname{cosec}\, \alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}}$

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}})$

$a \sin x \pm b \cos x = \pm \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}})$

Полезные тождества

$1\pm \sin(x) = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2 \right )$

$1+\cos(x) = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right )$

$1-\cos(x) = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right )$

$1\pm \operatorname{tg}(x)=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos(x)}$

$1\pm \operatorname{ctg}(x)=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin(x)}$

$\operatorname{tg}(x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+1}$

$\operatorname{tg}(3x)=\operatorname{tg}(x) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{3}-x\right )$

$\operatorname{tg}(5x)=\operatorname{tg}(x) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}-x\right )$

$\operatorname{tg}(7x)=\operatorname{tg}(x) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}-x\right )$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \cdot \sin(x)}$

$\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2^{n+1} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}$

$\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(x)}{2^{n} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}$

$\prod \limits _{k=0}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2x}$

$\prod \limits _{k=1}^{\infty} \cos \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(x)}{x}$

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где $e$ — основание натурального логарифма,

$i$ — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin x$ и $\cos x$ следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Откуда:

$\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}$

$\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}$

$\sec x = \frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}$

$\operatorname{cosec}\, x=\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}$

См. также

• Решение треугольников