Теорема Брахмагупты

$\overline{BD}\perp\overline{AC},\overline{EF}\perp\overline{BC}$ $\Rightarrow |\overline{AF}|=|\overline{FD}|$

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой. Приведём её вместе с доказательством.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке $M$, то прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Доказательство

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник $ABCD$, имеющий перпендикулярные диагонали $AC$ и $BD$, а прямая $ME$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает сторону $DA$ в точке $F$. Тогда $\angle{DMF}=\angle{BME}=\angle{MCE}=\angle{ACB}=\angle{ADB}=\angle{FDM}.$ Следовательно, треугольник $FMD$ — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник $FAM$. Поэтому $|FA|=|FM|=|FD|$.

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).