Правильный семнадцатиугольник

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности.

Свойства

Центральный угол α равен $\frac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ$.

Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет

$s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675$.

Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в 1796 году. Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:

$\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)} + 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)$.

Факты

• Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.

• В 1825 году Йоханнес Эрхингер впервые опубликовал подробное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.

Построение

Точное построение

1. Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
2. Проводим её диаметр AB.
3. Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
4. Отмечаем точку E — середину DO.
5. Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
6. Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
7. Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
8. Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
9. Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
10. Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
11. Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
12. Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

• Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Анимированное построение Эрхингера

Построение семнадцатиугольника циркулем и линейкой в 64 шага по Йоханнесу Эрхингеру

Ссылки

• Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101—118.
• Weisstein, Eric W. Семнадцатиугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.