Выпуклая оболочка

Выпуклой оболочкой множества $X$ называется наименьшее выпуклое множество, содержащее $X$. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами и на соответствующих аффинных пространствах (в частности в евклидовом пространстве).

Выпуклая оболочка множества $X$ обычно обозначается $\operatorname{Conv} X$.

Пример

Выпуклая оболочка: пример с лассо

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. Те гвозди, которых она касается, составляют выпуклую оболочку для всей группы гвоздей^[1].

Свойства

• $X$ — выпуклое множество тогда и только тогда, когда $\operatorname{Conv} X=X$.
• Для произвольного подмножества линейного пространства $X$ существует единственная выпуклая оболочка $\operatorname{Conv} X$ — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих $X$.
  • При этом

    $\operatorname{Conv} X = \bigcup_{n=1}^{\infty} ~\bigcup_{a_1,\dots,a_n \in X}~ \bigcup_{\lambda_1+\dots+\lambda_n=1} {\lambda_1 a_1+\dots+\lambda_n a_n},~ \lambda_i \ge 0$

  • Более того, если размерность пространства равна $N$ то верна следующая теорема Каратеодори:

    $\operatorname{Conv} X = \bigcup_{a_1,\dots,a_{N+1} \in X} \bigcup_{\lambda_1+\dots+\lambda_{N+1}=1} {\lambda_1 a_1+\dots+\lambda_{N+1} a_{N+1}},~ \lambda_i \ge 0$

• Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве.
• Выпуклая оболочка $X$ равна пересечению всех полупространств, содержащих $X$.

Вариации и обобщения

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию $\operatorname{Conv} f$, что

$\operatorname{epi}\; \operatorname{Conv} f = \operatorname{Conv}\; \operatorname{epi} f$,

где epi f — надграфик функции f.

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если $\operatorname{Conv} f$ —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то

$f^{**} = \overline{\operatorname{Conv}} f$

$\overline{\operatorname{Conv}} f$ — выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.

См. также

• Алгоритм Грэхема
• Алгоритм Джарвиса
• Алгоритм Чана
• Выпуклость
• Метод эластичной сети
• Алгоритм быстрой оболочки
• Алгоритм Киркпатрика

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Прапарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение = Computational Geometry An introduction. — М.: Мир, 1989. — С. 478.
• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 33. Вычислительная геометрия // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — ISBN 5-8459-0857-4
• Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. — М.: БИНОМ, 1997. — С. 304.
• Ананий В. Левитин Глава 3. Метод грубой силы: Поиск выпуклой оболочки. // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 157-157. — ISBN 0-201-74395-7

Примечания

1. ↑ Даниэль Хэльпер, курс «Построение алгоритмов», Хайфский университет.