Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n$,

где ${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, $n$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k}$

Докажем это равенство индукцией по n:

База индукции: $n=1$

$(a+b)^1=a+b$

Шаг индукции: Пусть утверждение для $n$ верно:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k } a ^ {n-k} b ^ {k}$

Тогда надо доказать утверждение для $n+1$:

$(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}$

Начнём доказательство:

$(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1}$

Извлечём из первой суммы слагаемое при $k = 0$

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k$

Извлечём из второй суммы слагаемое при $k=n$

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}$

Теперь сложим преобразованные суммы:

$a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k =$

$=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad \sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}$

Что и требовалось доказать

Комментарий:

${n \choose k} + {n \choose k - 1} = {n + 1 \choose k}$ — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1+x)^r$ в ряд Тейлора:

$(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k$

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,$

При этом ряд

$(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...$.

сходится при $|z|\le 1$.

В частности, при $z=\frac{1}{m}$ и $\alpha=x\cdot m$ получается тождество

$\left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.$

Переходя к пределу при $m\to\infty$ и используя второй замечательный предел $\lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e$, выводим тождество

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,$

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

$(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n =\sum\limits_{k_j\geqslant 0, k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1}\ldots x_m^{k_m},$

где $\textstyle \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!}$ — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам $k_j$, сумма которых равна n. При использовании полинома Ньютона, считается, что выражения $x_j^0=1$, даже в случае $x_j=0$.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При $m=2$, выражая $k_2$ через $k_1$, получаем бином Ньютона.

Биномиальные многочлены ^{[источник не указан 799 дней]}

Семейство многочленов G называется биномиальным, если оно представляется в виде суммы произведений набора множителей g:

$G_n^k=\sum_{i=1}^k \frac{n^i}{i!} T_i^{k-i},G_n^0=1,$

где

$T_p^k=\sum_{i_1+i_2 +\dots+i_p=k} g_{i_1} g_{i_2}\cdots g_{i_p};$

$g_0$≠0.

Биномиальные многочлены обладают биномиальным разложением:

$G^k_{n+m}=\sum_{i+j=k} G_n^i G_m^j.$

Биномиальная группа ^{[источник не указан 799 дней]}

Группа из одномерных матриц $G^k(g_0,g_1,g_2,\dots,g_k)$ с нулевым элементом $O^k(0,0,0,\dots,0)$ заданной на нём операцией $A^k \times B^k \to C^k$,

$c_s=\sum_{i=0}^s {a_i} {T(B)}_{i+1}^{s-i},\quad s=0,1,2,\dots,k;$

где

${T(B)}_p^k=\sum_{i_1+i_2 +\dots+i_p=k} b_{i_1} b_{i_2}\cdots b_{i_p}.$

Единицей группы является $E^k(1,0,0,...,0)$, нулём — $O^k(0,0,0,...,0).$ Обратный элемент

$a_s^{-1}=\sum_{i=1}^s \frac{{(-1)}^i(s+i)!}{i!(s+1)!{a_0}^{s+1+i}} Z(A)_i^{s-i};s=1,2,\dots,k; a_0^{-1}=\frac{1}{a_0},$

где

$Z(A)_p^k=\sum_{i_1+i_2 +\dots+i_p=k} g_{(i_1+1)} g_{(i_2+1)}\cdots g_{(i_p+1)}.$

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век).

Исаак Ньютон около 1676 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.^[1]

• В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность.

Оригинальный текст  (англ.)  

The Final Problem

At the age of twenty-one he wrote a treatise upon the binomial theorem, which has had a European vogue. On the strength of it he won the mathematical chair at one of our smaller universities, and had, to all appearances, a most brilliant career before him.

• Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Позже это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
• Бином Ньютона упоминается:
  • в фильме «Расписание на послезавтра»;
  • в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым;
  • в романе Е.И.Замятина «Мы».

Примечания

1. ↑ В. А. Успенский Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24.

См. также

• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
• Биномиальное распределение