Треугольник Паскаля

Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Имеет применение в теории вероятностей.

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году^[1]) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[2].

Свойства

• Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n:
  • первое и последнее числа равны 1.
  • второе и предпоследнее числа равны n.
  • третье число равно треугольному числу $\textstyle T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}$, что также равно сумме номеров предшествующих строк^[3].
  • четвёртое число является тетраэдрическим^[3].
  • m-е число равно биномиальному коэффициенту $\textstyle\binom{n}{m-1}$.
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:^[3]

  ${n-1\choose 0}+{n-2\choose 1}+{n-3\choose 2}+\ldots=F_n.$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.^[3]
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна $2^n$^[3].
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом^[4] (следствие теоремы Люка).
• Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют детерминистские фракталы с вращательной симметрией 3-го порядка, которые в полной мере выявляются учётом показателей степеней простых делителей [6] .
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике[5]. Мартин Гарднер

Примечания

1. ↑ О. В. Кузьмин Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 5. — С. 101—109.
2. ↑ Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5} В. Байдикова Вариации на тему «Треугольник Паскаля» // ИМиДЖ. — № 7.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
5. ↑ Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Ссылки

• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.
• Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.