Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть $X_1,\ldots,X_n$ — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i$.

Свойства выборочного среднего

• Пусть $\hat{F}(x)$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция $\hat{F}(\omega,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно $\bar{X}(\omega)$.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

$\mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n$.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

$\bar{X} \to \mathbb{E}[X_i]$ почти наверное при $n \to \infty$.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин $X_i$ конечна и ненулевая, то есть $\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n$. Тогда

$\sqrt{n} \left(\bar{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2)$ по распределению при $n \to \infty$,

где $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ — нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma^2$.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Математическое ожидание
• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты