Эффективная оценка

Определение

Оценка $\widehat{\theta_1} \in \Kappa\!$ параметра $\theta \!$ называется эффективной оценкой в классе $\Kappa\!$, если для любой другой оценки $\widehat{\theta_2} \in \Kappa\!$ выполняется неравенство $M_{\theta}(\widehat{\theta_1}-\theta)^2\leqslant M_{\theta}(\widehat{\theta_2}-\theta)^2\!$ для любого $\theta\!$.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки. Если несмещенная оценка $\widehat{\theta_1}\!$ является эффективной оценкой в классе несмещенных, то такую статистику принято называть просто эффективной.

Единственность

Эффективная оценка $\widehat{\theta}\!$ в классе $\Kappa_b = \{ E( \widehat{\theta}) = c(\theta)\}\!$, где $c(\theta)\!$ — некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве $A\!$, вероятность попасть в которое равна нулю ($P(x \in A)=0\!$).

Асимптотическая эффективность

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремиться к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) $\sqrt{n}\hat{\theta}$. В частности, асимптотически нормальная оценка

$\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta)\xrightarrow d N(0,V)$

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также

• Неравенство Крамера — Рао