Параметры Ламе

Не следует путать с коэффициентами Ламе.

Пара́метры Ламе́ (названные в честь Габриэля Ламе) — материальные константы (нем.), характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

$\sigma = 2 \mu \varepsilon + \lambda \; \mathrm{Tr}(\varepsilon)I$

Здесь λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

Определение через энергию

Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются $\left(\sum_i \varepsilon_{ii}\right)^2$ и $\sum_{i,k} \varepsilon_{ik}^2$.

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

$F = \frac{\lambda}{2} \left(\sum_i \varepsilon_{ii}\right)^2 + \mu \sum_{i,k} \varepsilon_{ik}^2$.

Связь с другими модулями упругости

Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига.

Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

$K = \lambda + \frac{2}{3}\mu$

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

$\lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}$

$\mu=\frac{E}{2(1+\nu)}$

Гидродинамика

В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:

$\rho \mathbf{v} =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.$

коэффициенты динамической вязкости λ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Литература

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. . — Наука., 1987.

Модули упругости для гомогенных изотропных материалов
Модуль объёмной упругости ($K$) | Модуль Юнга ($E$) | Параметры Ламе ($\lambda$) | Модуль сдвига ($G$) | Коэффициент Пуассона ($\nu$) | en:P-wave modulus ($M$)