Модули упругости

Модуль упругости — это математическое представление способности тел или веществ упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к ним силы. Модуль упругости тела определяется как наклон диаграммы напряжений-деформаций (см.: en:Stress–strain curve):

$\lambda \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \frac {\text{stress}} {\text{strain}}$

где λ (лямбда) — модуль упругости; en:stress — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы); en:strain — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению размера образца после деформации к его первоначальному размеру). Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения λ также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

• Модуль Юнга или модуль упругости (E) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к удлинению. Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
• Модуль сдвига или модуль жесткости (G или μ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения). Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
• Модуль объемной упругости или Модуль объемного сжатия (K) характеризует способность объекта изменять свой объем под воздействием всестороннего нормального напряжения (объемного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объемного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. Модуль объемной упругости является трехмерным расширением модуля Юнга.

Существуют и другие модули упругости: Коэффициент Пуассона, Коэффициенты Ламе.

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это подразумевает, что модуль Юнга также всегда равен нулю.

См. также

• Жёсткость
• Предел текучести
• Упругость
• Предел прочности
• Упругие волны
• en:Dynamic modulus

Ссылки

• Free database of engineering properties for over 63,000 materials

• Расчет модуля упругости по ПНАЭ Г-7-002-86

Литература

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

Модули упругости для гомогенных изотропных материалов
Модуль объемной упругости (K) | Модуль Юнга (E) | Коэффициенты Ламе (λ) | Модуль сдвига (G) | Коэффициент Пуассона (ν) | en:P-wave modulus (M)
Формулы преобразования Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости, таким образом, имея два модуля остальные можно вычислить по следующим формулам: $(\lambda,\,G)$ $(E,\,G)$ $(K,\,\lambda)$ $(K,\,G)$ $(\lambda,\,\nu)$ $(G,\,\nu)$ $(E,\,\nu)$ $(K,\, \nu)$ $(K,\,E)$ $K=\,$ $\lambda+ \frac{2G}{3}$ $\frac{EG}{3(3G-E)}$ $\lambda\frac{1+\nu}{3\nu}$ $\frac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$ $\frac{E}{3(1-2\nu)}$ $E=\,$ $G\frac{3\lambda + 2G}{\lambda + G}$ $9K\frac{K-\lambda}{3K-\lambda}$ $\frac{9KG}{3K+G}$ $\frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$ $2G(1+\nu)\,$ $3K(1-2\nu)\,$ $\lambda=\,$ $G\frac{E-2G}{3G-E}$ $K-\frac{2G}{3}$ $\frac{2 G \nu}{1-2\nu}$ $\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$ $\frac{3K\nu}{1+\nu}$ $\frac{3K(3K-E)}{9K-E}$ $G=\,$ $3\frac{K-\lambda}{2}$ $\lambda\frac{1-2\nu}{2\nu}$ $\frac{E}{2+2\nu}$ $3K\frac{1-2\nu}{2+2\nu}$ $\frac{3KE}{9K-E}$ $\nu=\,$ $\frac{\lambda}{2(\lambda + G)}$ $\frac{E}{2G}-1$ $\frac{\lambda}{3K-\lambda}$ $\frac{3K-2G}{2(3K+G)}$ $\frac{3K-E}{6K}$ $M=\,$ $\lambda+2G\,$ $G\frac{4G-E}{3G-E}$ $3K-2\lambda\,$ $K+\frac{4G}{3}$ $\lambda \frac{1-\nu}{\nu}$ $G\frac{2-2\nu}{1-2\nu}$ $E\frac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$ $3K\frac{1-\nu}{1+\nu}$ $3K\frac{3K+E}{9K-E}$