Квадратичная форма

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть $\,L$ есть векторное пространство над полем $\,K$ и $e_1,e_2,\dots,e_n$ — базис в $\,L$.

Функция $Q : L \to K$ называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

$Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,$

где $x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n$, а $\,a_{ij}$ — некоторые элементы поля $\,K$.

Связанные определения

• Матрицу $\,(a_{ij})$ называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля $\,K$ не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть $\,a_{ij}=a_{ji}$.
• Для любой квадратичной формы $\,Q$ существует единственная симметричная билинейная форма $\,B$, такая, что $\,Q(x)=B(x,x)$. Билинейную форму $\,B$ называют полярной к $\,Q$, она может быть вычислена по формуле

$B(x,y)=\frac{1}{4}\,(Q(x+y)-Q(x-y)).$

• Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

• Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
• Квадратичная форма $\,Q$ называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого $x\neq 0$ выполнено неравенство $\,Q(x)>0$ $\,(Q(x)<0)$. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
• Квадратичная форма $A(x,x)$ называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Квадратичная форма $\,Q$ называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если $A(x,x)\geq 0$ $(A(x,x)\leq 0)$ для любого $x\in L$.

Эквивалентные квадратичные формы

Две квадратичные формы $f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix}$ и $g=\begin{pmatrix} p,&q,&r \end{pmatrix}$ называются эквивалентными, если найдется целочисленная матрица:

$\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$

с определителем равным 1, переводящая матрицу $f$ в матрицу $g$:

$\begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$

Поскольку эквивалентное преобразование не меняет детерминант формы, необходимым условием эквивалентности двух форм является равенство их детерминантов. Однако обратное неверно: среди форм с одинаковым дискриминантом может найтись конечное число неэквивалентных.

Редуцированные квадратичные формы

Положим $\Delta$ любое положительное целое число, не являющееся квадратом какого-либо другого целого числа. Каждый класс неопределенных квадратичных форм с дискриминантом $\Delta$ содержит набор канонических представлений, называющихся редуцированными формами. Квадратичная форма $f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix}$ называется редуцированной, если $\sqrt{ \Delta } -2|a| < b < \sqrt{ \Delta }$.

Так же нетрудно заметить, что квадратичная форма является редуцированной тогда и только тогда, когда $\sqrt{ \Delta } -2|c| < b < \sqrt{ \Delta }$ и, что число редуцированных квадратичных форм определенного дискриминанта конечно.

Квадратные, смежные и неоднозначные квадратичные формы

Две формы $\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} a,&b',&c' \end{pmatrix}$ называются смежными, если выполняется условие $b+b'\equiv 0(\mathrm{mod}\, 2c)$, например:

$\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a,&-b,&c \end{pmatrix}$

Также на множестве эквивалентных форм можно определить операцию умножения(композицию) тогда, если коэффициенты $a$ и $b$ взаимно-просты, $\begin{pmatrix} a,&b,&ac \end{pmatrix}^2 \sim \begin{pmatrix} a^2,&-b,&c \end{pmatrix}$

Квадратной формой называется квадратичная форма вида $f = \begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}$, в которой третий коэффициент является полным квадратом. Из квадратичной формы $f$ можно извлечь квадратный корень. Для вычисления корня заменим форму $f$ на эквивалентную ей смежную форму $f \sim \begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}$, потом извлечем квадратный корень на основании предыдущего определения. В итоге операция извлечения корня сведется к следующему:

$g = f^{1/2} = \sqrt{\begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}} = \sqrt{\begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} c,&-b,&ac \end{pmatrix}$ ^[1]

Форма вида $\begin{pmatrix} k,&kn,&c \end{pmatrix}$ называется неоднозначной. Если форма неоднозначна, то ее определитель делится на $k: \ D=(kn)^2-4kc=k(kn^2-4c).$

Свойства

• Критерий Сильвестра
  • Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
  • Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
• Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

• Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:

  $A(x,x)= x^2_1+ \cdots+ x^2_p - x^2_{p+1}- \cdots -x^2_{n}.$

  • Разность между числом положительных ($p$) и отрицательных ($n-p$) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
• Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Примеры

• Скалярное произведение векторов $\,(x,y)$ — симметричная билинейная функция. Соответствующая квадратичная форма $\,Q(x)=(x,x)$ является положительно определённой, она сопоставляет вектору $\,x$ квадрат его длины.
• Квадратичная форма $\,Q(x)=x_1x_2$ на плоскости (вектор $\,x$ имеет две координаты: $\,x_1$ и $\,x_2$) является знакопеременной, она приводится к каноническому виду $x_1^2-x_2^2$ с помощью линейной замены $\,x_1 = x_1'+x_2', \ x_2 = x_1'-x_2'$.

Примечания

1. ↑ Ш.Т. Ишмухаметов Методы факторизации натуральных чисел, Казанский университет, 2011 стр 78

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.