Симметрический многочлен

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных $F(x_1, x_2, ..., x_n)$, не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры

• Дискриминант — многочлен вида $D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$, где $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ — корни некого многочлена от одной переменной: $p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$.

• Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^\alpha$

• Основные симметрические многочлены — многочлены вида

$\sigma_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{1\le j_1<j_2<\ldots <j_k\le n} x_{j_1} \cdots x_{j_k}$

определённые для $k = 1, 2 \ldots n$, то есть такие:

$\begin{array}{lcr} \sigma_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& x_1 + x_2 + \cdots + x_n \\ \sigma_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdots + {x_{n-1}}{x_n} \\ & \cdots & \\ \sigma_{n-1}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-1}} + {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-2}}{x_n}+\cdots+{x_2}{x_3}\ldots{x_n}\\ \sigma_{n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_n}\\ \end{array}$

Основная теорема теории симметрических многочленов

Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.

См. также

• Дискриминант
• Симметрическая группа
• Континуанта

Ссылки

• З. Б. Райхштейн Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — В. 4. — С. 204–205.