Дискретный оператор Лапласа

О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.

В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.

Понятие о дискретном операторе Лапласа происходит из таких физических проблем, как модель Изинга и петлевая квантовая гравитация, а также из изучения динамических систем. Этот оператор используется также в вычислительной математике как аналог непрерывного оператор Лапласа. Будучи известным как фильтр Лапласа, часто находит приложение в обработке изображений. Кроме того, оператор используется в машинном обучении для кластеризации и полуавтоматического обучения на графах соседства.

Определение

Обработка изображений

Дискретный оператор Лапласа часто используется в обработке изображений, например в задаче выделения границ или в приложениях оценки движения. Дискретный лапласиан определяется как сумма вторых производных и вычисляется как сумма перепадов на соседях центрального пиксела.

Реализация в обработке изображений

Для одномерных, двухмерных и трёхмерных сигналов дискретный лапласиан можно задать как свёртку со следующими ядрами:

Фильтр 1D: $\vec{D}^2_x=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}$

Фильтр 2D: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$

или с диагоналями:

Фильтр 2D: $\mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

Фильтр 3D: $\mathbf{D}^3_{xyz}$

для первой плоскости = $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ ; для второй $\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -6 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}$ ; для третьей $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Эти ядра выводятся с помощью дискретных частных производных.

На графах

Есть разные определения дискретного лапласиана, различающиеся знаком и масштабным коэффициентом (иногда средние на соседних вершинах, иногда просто сумма; это не имеет значения для регулярного графа).

Пусть G=(V,E) будет графом с вершинами V и рёбрами E. Зададим функцию значений $\phi\colon V\to R$. Тогда дискретный лапласиан $\Delta$ от $\phi$ будет определяться как

$(\Delta \phi)(v)=\sum_{w:d(w,v)=1}\left[\phi(w)-\phi(v)\right]\,$

где d(w,v) есть функция расстояния между вершинами графа. Эта сумма — на ближайших соседях вершины v. Для графа с конечным количеством вершин и рёбер это определение совпадает с матрицей Лапласа, то есть $\phi$ может быть записано как вектор-столбец, $\Delta\phi$ есть вектор-столбец, умноженный на матрицу Лапласа, а $(\Delta \phi)(v)$ есть лишь запись векторного произведения для v.

Если рёбра графа имеют веса, то есть задана весовая функция $\gamma\colon E\to R$, то определение можно записать как

$(\Delta_\gamma\phi)(v)=\sum_{w:d(w,v)=1}\gamma_{wv}\left[\phi(w)-\phi(v)\right]$

где $\gamma_{wv}$ есть вес ребра $wv\in E$.

Близко лежит определение усредняющего оператора:

$(M\phi)(v)=\frac{1}{\deg v}\sum_{w:d(w,v)=1}\phi(w)$

Спектр

Спектр дискретного лапласиана представляет ключевой интерес; когда он имеет самосопряжённый спектр, он действителен. Если $\Delta = I - M$, то спектр лежит в отрезке $[0,2]$ (в то время как у усредняющего оператора его спектральные значения в $[-1,1]$) и содержит ноль (для постоянных функций). Наименьшее ненулевое собственное число $\lambda_1$ называют спектральной щелью. Обычно различают и понятие о спектральном радиусе, определяемом обычно как наибольшее собственное число.

Собственные вектора не зависят от условностей (для регулярных графов), и они схожи с собственными векторами усредняющего оператора (различаясь добавлением), хотя собственные значения могут различаться в зависимости от соглашения.

Теоремы

Если граф представляет собой бесконечную квадратную решётку, то его определение лапласиана можно связать с непрерывным лапласианом через предел бесконечной решётки. К пример, в одномерном случае мы имеем

$\frac{\partial^2F}{\partial x^2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{[F(x+\epsilon)-F(x)]+[F(x-\epsilon)-F(x)]}{\epsilon^2}.$

Это определение лапласиана часто используется в вычислительной математике и обработке изображений. В последнем случае оно рассматривается как разновидность цифрового фильтра, как граничный фильтр, называемый фильтром Лапласа.

Дискретный оператор Шрёдингера

Пусть $P:V\rightarrow R$ есть потенциал, заданный на графе. Заметим, что P можно рассматривать и как мультипликативный оператор, действующий диагонально на $\phi$:

$(P\phi)(v)=P(v)\phi(v).$

Тогда $H=\Delta+P$ есть дискретный оператор Шрёдингера, аналог непрерывного оператора Шрёдингера.

Если количество рёбер вершины равномерно ограничено, то H — ограниченный и самосопряжённый.

Спектральные свойства его гамильтониана могут быть получены из теоремы Стоуна; это следствие из двойственности между частично упорядоченными множествами и булевой алгеброй.

На регулярных решётках оператор обычно имеет и бегущую волну, и решения локализации Андерсона — в зависимости от периодичности или случайности потенциала.

Дискретная функция Грина

Функция Грина дискретного оператора Шрёдингера задана резольвентой линейного оператора:

$G(v,w;\lambda)=\langle\delta_v| \frac{1}{H-\lambda}| \delta_w\rangle$

где $\delta_w$ понимается как символ Кронекера на графе: $\delta_w(v)=\delta_{wv}$, то есть это равно 1, если v=w, и 0 иначе.

Для фиксированного $w\in V$ и комплексного $\lambda$, функция Грина рассматривается как функция от v, уникальное решение уравнения

$(H-\lambda)G(v,w;\lambda)=\delta_w(v).$

См. также

• Матрица Лапласа

Ссылки

• Определение и приложение спектральной щели