Вычислительная математика

Имеется викиучебник по теме
«Вычислительная математика»

Вавилонская глиняная табличка примерно 1800—1600 года до н. э. с современными аннотациями. Надписи на табличке дают приближение значения квадратного корня из 2 как суммы четырёх шестидесятеричных чисел^[1]:$\sqrt{2} = 1 + 24/60 + 51/60^2 +$
$+ 10/60^3 = 1.41421296\ldots$

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчётов. На её основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная химия, вычислительная биология и так далее.

История

Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.

Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.

Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.

Основные направления

В вычислительное математике выделяют следующие направления: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения стандартных математических задач, автоматизация программирования^[2].

Анализ выбранных математических моделей для поставленной задачи начинается с анализа и обработки входной информации, что очень важно для более точных входных данных. Для такой обработки зачастую применяются методы математической статистики. Следующим шагом является численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Появление более точных входных данных может потребовать усовершенствование построенной модели или даже её замену^[2].

Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят^[2]:

• Алгебра: решение систем линейных уравнений, обращение матриц, поиск собственных значений и векторов матриц (ограниченная и полная проблема собственных значений), поиск сингулярных значений и векторов матриц, решение нелинейных алгебраических уравнений, решение систем нелинейных алгебраических уравнений;
• Дифференциальные уравнения: дифференцирование и интегрирование функций одного или нескольких переменных, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений с частными производными, решение систем дифференциальных уравнений, решение интегральных уравнений;
• Оптимизация: изучение минимальных и максимальных значений функционалов на множествах;
• Исследование операций и теория игр: минимаксные задачи (в частности, для многошаговых игр);
• математическое программирование: задачи аппроксимации, задачи интерполяции, задачи экстраполяции.

Проводится изучение и сравнительный анализ методов решения типовых задач. Важным элементом анализа является поиск экономичных моделей, позволяющих получить результат используя наименьшее число операций, оптимизация методов решения. Для задач больших размеров особенно важным является исследование устойчивости методов и алгоритмов, в том числе к ошибкам округления. Примерами неустойчивых задач является обратные задачи (в частности, поиск обратной матрицы), а также автоматизация обработки результатов экспериментов^[2].

Постоянно увеличивающийся круг типовых задач и рост числа пользователей определили повышение требований к автоматизации. В условиях, когда знание конкретных численных методов является несущественным для пользователя, возрастают требования к стандартным программам решения. С их использованием не требуется программирование методов решения, а достаточно задать исходную информацию^[2].

Особенности представления чисел в компьютере

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так например если взять машинное число длиной в 8 байт, то в нём можно запомнить только 2⁶⁴ разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Программное обеспечение

Алгоритмы решения множества стандартных задач вычислительной математики реализованы на различных языках программирования. Чаще всего для этих целей используются языки Фортран и C, библиотеки для которых можно найти в репозитории Netlib (англ.)русск.. Кроме того, большую популярность имеют коммерческие библиотеки IMSL (англ.)русск. и NAG (англ.)русск., а также свободная GNU Scientific Library.

Программные пакеты MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS (англ.)русск., LabVIEW и IDL (англ.)русск., а также их свободные альтернативы FreeMat, Scilab, GNU Octave (похожа на Matlab), IT++ (англ.)русск. (библиотека C++), R (похож на S-PLUS) имеет различные численные методы, а также средства для визуализации и отображения результатов.

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности. Также, большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики.

См. также

• Вычислительные методы
• Вычислительная геометрия
• Вычислительная топология
• Экспериментальная математика
• Численное дифференцирование
• Численное интегрирование

Литература

• К. И. Бабенко. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
• Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. — 2-е изд. — М.: Государственное издателство физико-математической литературы, 1963.
• Л. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближённые методы высшего анализа. — М.—Л.: ГИИТЛ, 1949.

Примечания

1. ↑ Duncan J. Melville, Photograph, illustration, and description of the $\sqrt{2}$ tablet from the Yale Babylonian Collection, Mesopotamian Mathematics, St. Lawrence University, 18 September 2006.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5} Вычислительная математика — статья из Большой советской энциклопедии. А. Н. Тихонов

Ссылки

• Вычислительная математика — статья из Большой советской энциклопедии. А. Н. Тихонов
• Материалы по численным методам
• Из истории вычислительной математики
• Численные методы