Критическая точка (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Критическая точка.

Критической точкой дифференцируемой функции $f:D\to\R$, где $D\,$ — область в $\R^n$, называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в нуль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума функции.

Значение функции в критической точке называется критическим значением. Согласно лемме Сарда, множество критических значений любой $\,C^1$-гладкой функции $f: [a,b] \to\R$ имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для функции $f=const$ любая точка является критической).

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений $f:\R^n\to\R^m$, и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий $f:N^n\to M^m$. В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения $f$ в ней меньший максимального (равного числу $\min \{n,m\}$).

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф.

Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Формальное определение

Критической точкой (или особой точкой, или стационарной точкой) непрерывно дифференцируемой функции (отображения) $f: \R^n\to\R^m$ называется такая точка $x_0 \in \R^n$, в которой дифференциал $f_*=\frac{\partial f}{\partial x}$ является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках $x_0$ и $f(x_0)$, то есть размерность образа $f_*$ меньше $\min \{n,m\}$. В координатной записи это означает что ранг матрицы Якоби функции $f$, составленной из всех частных производных $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0),$ $i=1,\ldots,n,$ $j=1,\ldots,m,$ меньше своего максимально возможного значения $\min \{n,m\}$.

Пространства $\R^n$ и $\R^m$ в этом определении могут быть заменены на многообразия $N^n$ и $M^m$ таких же размерностей.

Случай $m=1$

В случае $m=1$ данное определение означает, что градиент $\nabla f = (f'_{x_1}, \ldots, f'_{x_n})$ в данной точке обращается в нуль. В простейшем случае $n=m=1$ это значит, что производная $f'$ в данной точке равна нулю.

Критическая точка называется невырожденной, если в ней гессиан $\Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr|$ отличен от нуля. Если $f$ имеет класс гладкости не ниже $C^3$, то в окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция $f(x)$ имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса).

При $m=1$ имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция $f$, определенная во всем пространстве $\R^n$ или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица $\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr),$ $i,j=1,\ldots,n,$ в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой. Последнее является также достаточным условием локального максимума (минимума).

Случай постоянного ранга

Если в любой точке $x \in \R^n$, принадлежащей некоторой окрестности $x_0$, ранг функции $f$ равен одному и тому же числу $r$, то есть ранг линейного преобразования $f_*$ соответствующих касательных пространств в точках $x$ и $f(x)$ равен $r$, то в окрестности точки $x_0$ существуют локальные координаты $(x_1, \ldots, x_n)$ с центром в $x_0$, а в окрестности точки $f(x_0)$ существуют локальные координаты $(y_1, \ldots, y_m)$ с центром в $f(x_0)$, такие, что функция $f$ в них задается соотношениями

$y_1=x_1, \ \ldots, \ y_r=x_r, \ y_{r+1}=0, \ \ldots, \ y_m=0.$

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.

См. также

• Лемма Ферма
• Индекс критической точки
• Кратность критической точки
• Теорема Сарда