R-функция

R-функция (функция В. Л. Рвачёва) — числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы $(-\infty,0)$ и $[0,\infty)$. Впервые R-функции были введены в работах В. Л. Рвачёва^[1][2][3].

Определение

Числовая функция $z=z(x,\;y)$ называется R-функцией, если существует такая сопровождающая булева функция $\Phi\;$ с тем же числом аргументов, что

$\mathrm{sign}(z)=\Phi(\mathrm{sign}(x),\; \mathrm{sign}(y)).$

Аналогично вводится понятие R-функции при количестве аргументов $n\;>\;2.$

Каждой R-функции соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно: одной и той же булевой функции соответствует бесконечное число (ветвь) R-функций.

Множество R-функций замкнуто в смысле суперпозиции R-функций. Система R-функций $\mathcal{H}$ называется достаточно полной, если множество всех суперпозиций элементов $\mathcal{H}$ (множество $\mathcal{H}$-реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества R-функций. Достаточным условием полноты является полнота системы $\mathcal{H}^*$ соответствующих сопровождающих булевых функций.

Полные системы R-функций

Наиболее часто используемой полной системой R-функций является система $\mathcal{R}_\alpha$ (при $-1 < \alpha \leq 1$):

$x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),$

$x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),$

$\bar{x} \equiv -x.$

При $\alpha = 0\;$ имеем систему $\mathcal{R}_0$:

$x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{x} \equiv -x.$

При $\alpha = 1\;$ имеем систему $\mathcal{R}_1$:

$x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|x-y|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|x-y|),\quad \bar{x} \equiv -x.$

В последнем случае R-функции конъюнкции и дизъюнкции совпадают с соответствующими t-нормой и t-конормой нечеткой логики:

$x \wedge y \equiv \min(x,y),\quad x \vee y \equiv \max(x,y).$

Приложения

С помощью R-функций оказывается возможным построение в неявной форме уравнений границ составных областей по известным уравнениям простых областей. Описание границы сложной области в виде единого аналитического выражения позволяет создавать структуры решения краевых задач математической физики, зависящие от неопределенных компонент и точно удовлетворяющие граничным условиям. Неопределенные компоненты таких структур могут далее находиться одним из вариационных или проекционных методов решения краевых задач (коллокации, Рэлея—Ритца, Бубнова—Галеркина—Петрова, наименьших квадратов). Метод решения краевых задач для уравнений в частных производных на основе теории R-функций носит название структурного метода R-функций или, в зарубежной литературе, RFM (R-Functions Method).

R-функции можно рассматривать как инструмент бесконечнозначной логики или нечеткой логики.

В настоящее время R-функции используются при решении широкого класса задач математической физики (теории упругости^{[4][5][6][7][8]}, электродинамики^[9][10], теории теплопроводности^{[11][12][13][14]}), а также в многомерной цифровой обработке сигналов и изображений^[15], машинной графике и других областях.

Примечания

1. ↑ Рвачёв В. Л. Геометрические приложения алгебры логики. — Киев: Техніка, 1967.
2. ↑ Рвачёв В. Л. Методы алгебры логики в математической физике. — Киев: Наук. думка, 1974.
3. ↑ Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. — Киев: Наук. думка 1982.
4. ↑ Рвачёв В. Л., Курпа Л. В., Склепус Н. Г., Учишвили Л. А. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. — Киев: Наукова думка, 1973.
5. ↑ Рвачёв В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977.
6. ↑ Рвачёв В. Л., Курпа Л. В. R-функции в задачах теории пластин. — Киев: Наукова думка 1987.
7. ↑ Рвачёв В. Л., Синекоп Н. С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. — Киев: Наукова думка 1990.
8. ↑ Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
9. ↑ Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
10. ↑ Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
11. ↑ Рвачев В. Л., Слесаренко А. П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. — Киев: Наук. думка, 1978.
12. ↑ Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. — М.: Радиотехника, 2005.
13. ↑ Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.
14. ↑ Матвеев В. А., Лунин Б. С., Басараб М. А. Навигационные системы на волновых твердотельных гироскопах. — М.: Физматлит, 2008.
15. ↑ Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.

См. также

• Алгебра логики
• Булева алгебра
• Булева функция