Многозначная логика

Многозна́чная ло́гика — тип формальной логики, в которой допускается более двух истинностных значений для высказываний. Первую систему многозначной логики предложил польский философ Ян Лукасевич в 1920 году^[1]. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.

Трёхзначные логики

Трёхзначная логика была исторически первой многозначной логикой, и является простейшим расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трёхзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое как правило трактуется как «неопределено», «неизвестно» или «ошибочно». В последнем случае логику обычно называют частичной.

В трёхзначной логике естественно не соблюдается закон исключённого третьего. Вместе с тем, важным свойством трёхзначных логик, отражающим их адекватность, является то, что все они представляют собой расширения классической двузначной логики. То есть, в предположении, что интерпретируемые символы не принимают третьего истинностного значения, семантика формул в трёхзначной логике такая же, как и в двузначной.

Четырёхзначные логики

Логика ложности FL4.^[2]
Паранепротиворечивая логика.^[3]

Конечнозначные логики

Конечнозначные логики (другое название — 'k'-значные) являются обобщением двузначной логики в том, что функция в ней может принимать не два значения (0 и 1), а значения от 0 до k−1. Существенным отличием 'k'-значной логики от двузначной является тот факт, что на данный момент не существует полного описания замкнутых классов при k>2. В двузначной логике напротив существует полное описание системы замкнутых классов, предложенное Эмилем Постом в 1940 году.

Существуют следующие переобозначения для функций конъюнкции и дизъюнкции:

• A∧B = min(A,B)
• A∨B = max(A,B)

Бесконечнозначные логики

Бесконечнозначную логику можно ввести следующим образом:

• истинностное значение находится в отрезке действительных чисел от 0 до 1;
• отрицание определяется как: ¬A = 1−A;
• конъюнкция определяется как: A∧B = min(A, B);
• дизъюнкция определяется как: A∨B = max(A, B).

К формальным системам бесконечнозначной логики могут быть отнесены системы R-функций В. Л. Рвачева^[4].

Теория вероятностей и многозначные логики

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 11 августа 2012.

Может показаться, что теория вероятностей очень похожа на бесконечнозначную логику: вероятность соответствует истинностному значению (1=истина, 0=ложь), вероятность ненаступления какого-либо события соответствует отрицанию, вероятность одновременного наступления двух событий соответствует конъюнкции, а вероятность наступления хотя бы одного из двух событий соответствует дизъюнкции.

Однако между многозначными логиками и теорией вероятностей есть принципиальное различие: в логиках истинностное значение любой функции целиком определяется истинностным значением её аргументов, в то время как в теории вероятностей вероятность составного события зависит не только от вероятностей входящих в него событий-компонентов, но и от их зависимости друг от друга (что выражается через их условные вероятности).

Это проявляется, в частности, в том, что в теории вероятностей выполняется эквивалент «закона исключённого третьего»: вероятность того, что {некоторое событие наступит или не наступит}, всегда равна единице, в то время как в многозначных логиках закон исключённого третьего не выполняется.

В теории вероятностей выполняется также эквивалент «закона противоречия»: вероятность того, что {некоторое событие одновременно наступит и не наступит}, всегда равна 0, в то время как в многозначных логиках закон противоречия не выполняется.

В то же время существует некоторая связь между истинностными значениями вышеописанной бесконечнозначной логики и вероятностями теории вероятностей, а именно:

• если a — вероятность некоторого события, то вероятность ненаступления этого события составляет 1−a;
• если a и b — вероятности некоторых двух событий, то вероятность совместного наступления этих двух событий не превышает min(a, b);
• если a и b — вероятности некоторых двух событий, то вероятность наступления хотя бы одного из этих двух событий больше или равна max(a, b).

Примечания

1. ↑ Кондаков, 1971, с. 305
2. ↑ http://www.philosophy.ru/iphras/library/log/11/s9606pav.html С. А. Павлов. Трехзначная логика Лукасевича и логика ложности FL4
3. ↑ http://exsolver.narod.ru/Books/Other/Logica/c64.html Логика — Гетманова А. Д. § 9. Паранепротиворечивая логика
4. ↑ Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. — Киев: Наук. думка 1982.

Ссылки

• http://plato.stanford.edu/entries/logic-manyvalued
• http://www.cs.chalmers.se/~reiner/papers/ipgl.pdf

Литература

• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986. 384с. Глава 2.
• Многозначные логики и их применения: Логические исчисления, алгебры и функциональные свойства. Под ред. Финна В. К. Том 1. М.: УРСС, 2008. 416 с.
• Многозначные логики и их применения: Логики в системах искусственного интеллекта. Под ред. Финна В. К. Том 2. М.: УРСС, 2008. 240 с.
• Карпенко А. С. Многозначные логики. Логика и компьютер. Вып. 4. М.: Наука, 1997. 223с.
• Карпенко А. С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Наука, 2000. 319с.
• Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
• Статьи по многозначным логикам в arxiv.org
• Левин В. И.Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982. 176 с.
• Rescher, N. «Many-Valued Logic», Mc.Graw-Hill, New York, 1969.
• Rosser, J. B., Turquette, A. R. «Many-Valued Logics», North Holland, Amsterdam, 1952.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN. Викифицировать статью.