Числа Каталана

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)

Определения

n-е число Каталана $\,\! C_n$ можно определить одним из следующих способов:

• Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
• Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.

Например, для n=3 существует 5 таких последовательностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

то есть $C_3=5$.

• Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
• Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n+1 листьями.

Свойства

• Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

  $C_0 = 1\,\!$ и $\qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i}$ для $n\ge 1.\,\!$

Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w=(w₁)w₂, где w₁, w₂ — правильные скобочные последовательности.

• Производящая функция чисел Каталана равна:

  $\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}.$

• Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:

  $C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}.$

Другими словами, число Каталана $C_n$ равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

• Асимптотически $C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}.$

См. также

• Размещение
• Сочетание
• Перестановка

Ссылки

• С. К. Ландо Лекции по комбинаторике. — МЦНМО, 1994.
• А. Шень Разделы 2.6 и 2.7 // Программирование: теоремы и задачи. — M.: МЦНМО, 2004.