- СЛАУ
-
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
(1) Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Содержание
Матричная форма
Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:
или, согласно правилу перемножения матриц,
- AX = B.
Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.
Методы решения
Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определенное количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений
Прямые методы
- Метод Гаусса
- Метод Гаусса — Жордана
- Метод Крамера
- Матричный метод
- Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
- Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)
Итерационные методы
Решение системы линейных алгебраических уравнений на VBA
Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim n As Integer Dim b() As Double Dim file As Integer Dim y() As Double file = FreeFile Open "C:\data.txt" For Input As file Input #file, n ReDim x(0 To n * n - 1) As Double ReDim y(0 To n - 1) As Double ReDim r(0 To n - 1) As Double For i = 0 To n - 1 For j = 0 To n - 1 Input #file, x(i * n + j) Next j Input #file, y(i) Next i Close #file For i = 0 To n - 1 p = x(i * n + i) For j = 1 To n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Next j y(i) = y(i) / p For j = i + 1 To n - 1 p = x(j * n + i) For k = i To n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Next k y(j) = y(j) - y(i) * p Next j Next i ' Верхнетреугольная матрица For i = n - 1 To 0 Step -1 p = y(i) For j = i + 1 To n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Next j r(i) = p / x(i * n + i) Next i ' Обратный ход For i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Next i '<!--End of Code--> End Sub
См. также
- Недоопределённая система
- Теорема Кронекера — Капелли
- Решение систем линейных алгебраических уравнений
Ссылки
Примечания
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
Wikimedia Foundation. 2010.