Разложение Холецкого

Разложе́ние Холе́цкого — представление симметричной положительно-определённой матрицы $A$ в виде $A = LL^T$, где $L$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: $A = U^TU$, где $U = L^T$ — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.

Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если $A$ — положительно-определённая эрмитова матрица, то существует разложение $\! A = LL^*$, где $L$ — нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а $\! L^*$ — эрмитово-сопряжённая к ней матрица.

Разложение названо в честь французского математика Андре-Луи Холецкого (1875-1918).

Алгоритм

Элементы матрицы $L$ можно вычислить, начиная с верхнего левого угла матрицы, по формулам:

$L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2}$

$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left(A_{ji} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$, если $j < i$.

Выражение под корнем всегда положительно, если $A$ — действительная положительно-определённая матрица.

Вычисление происходит сверху вниз, слева направо,т.е. сперва $L_{ij}$, а затем $L_{ii}$.

Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы:

$L_{ii} = \sqrt{ A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}L_{ik}^* }$

$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk}^* \right)$, если $j < i$.

Приложения

Это разложение может применяться для решения системы линейных уравнений $Ax = b$, если матрица $A$ симметрична и положительно-определена. Такие матрицы часто возникают, например, при использовании метода наименьших квадратов и численном решении дифференциальных уравнений.

Выполнив разложение $A = LL^T$, решение $x$ получается последовательным решением двух треугольных систем уравнений: $Ly = b$ и $L^T x = y$. Такой способ решения иногда называется методом квадратных корней.^[1] По сравнению с более общими методами, такими как метод Гаусса или LU-разложение, он устойчивее численно и требует примерно вдвое меньше арифметических операций. ^[2]

Разложение Холецкого также применяется в методах Монте-Карло для генерации коррелированных случайных величин. Пусть $X$ — вектор из независимых стандартных нормальных случайных величин, а $\Sigma = LL^T$ — желаемая ковариационная матрица. Тогда вектор $Y = LX$ будет иметь многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей $\Sigma$. ^[3]

Реализация в математических пакетах программ

• В системах MATLAB, Octave, R разложение выполняется командой U = chol(A).
• В Maple и NumPy существует процедура cholesky в модуле linalg.
• В Mathematica используется процедура CholeskyDecomposition[A].
• В GSL используется функция gsl_linalg_cholesky_decomp.
• В библиотеке от Google ceres-solver.

Примечания

1. ↑ Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — 840 с. — ISBN 9785060061239
2. ↑ William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. 2.9 Cholesky Decomposition // Numerical Recipes in C. — 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press. — ISBN 0-521-43108-5
3. ↑ Martin Haugh. Generating Correlated Random Variables.

Имеется викиучебник по теме
«Примеры реализации разложения Холецкого»