Матричный метод

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем):

${ \begin{cases} a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n \end{cases} }$

Тогда её можно переписать в матричной форме:

$AX = B$, где $A$ — основная матрица системы, $B$ и $X$ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Умножим это матричное уравнение слева на $A^{-1}$ — матрицу, обратную к матрице $A$: $A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B$

Так как $A^{-1}A = E$, получаем $X = A^{-1}B$. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

$\det A \ne 0$.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор $B = 0$, действительно обратное правило: система $AX = 0$ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если $\det A = 0$. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ

${ \begin{cases} 3x+2y-z=4; \\ 2x-y+5z=23;\\ x+7y-z=5; \end{cases} }$

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}=3-14+10-1-105+4=-103;$

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1 & 5\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-34;$

$A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}2 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=7;$

$A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=15;$

$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-5;$

$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2;$

$A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=-19;$

$A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}=9;$

$A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}=-17;$

$A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-7;$

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

$C^{*}=\begin{pmatrix}-34 & 7 & 15\\ -5 & -2 & -19\\ 9 & -17 & -7\end{pmatrix};$

$(C^{*})^{T}=\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix};$

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(C^{*})^{T}$

Подставляя переменные в формулу, получаем:

$A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix};$

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

$X=A^{-1}\cdot B;$

$X=\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

Итак, x=2; y=1; z=4.

Ссылки

• | Онлайн решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом
• | Решение СЛАУ методом обратной матрицы online

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.