Импеданс

Классическая электродинамика

Магнитное поле соленоида

Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Электродинамика Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-ток · 4-потенциал Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

Электри́ческий импеда́нс — комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала. Это понятие ввёл физик и математик О. Хевисайд.

Аналогия с сопротивлением

В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение напряжения и тока на нём, попытка применения термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности.

Сопротивление никак не описывает реактивные свойства элементов потому, что оно рассматривается на постоянном токе, то есть на нулевой частоте, когда реактивные свойства не проявляются. В то же время в случае переменного тока свойства реактивных элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю, однако это поведение сопротивлением уже не описывается^[1]. Было бы удобно иметь некоторую характеристику и для реактивных элементов, которая бы при любых условиях связывала ток и напряжение на них подобно сопротивлению.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при гармонических воздействиях на них. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некоей стабильной константой (подобной в некотором смысле сопротивлению), которая и получила название электрический импеданс (или просто импеданс). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно оно позволяет одновременно учитывать и амплитудные, и фазовые характеристики сигналов и систем.

Определение

Импедансом $\hat z(j \omega)\;$ называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени: если время t в выражении для импеданса не сокращается, значит для данного двухполюсника понятие импеданса не применимо.

$\hat z(j \omega)\;= \frac{\hat u(j \omega, t)\;}{\hat i(j \omega, t)\;} = \frac{U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}}{I(\omega) e^{j(\omega t + \phi_i(\omega))}} = \frac {U(\omega) e^{j\phi_u(\omega)}}{I(\omega) e^{j\phi_i(\omega)}} = \frac{\hat U(j\omega)\;}{\hat I(j\omega)\;}$

(1)

Здесь

• j — мнимая единица;
• ω — циклическая частота;
• U(ω), I(ω) — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• φ_u(ω), φ_i(ω) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;
• $\hat U(j\omega)\;$, $\hat I(j\omega)\;$ — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ω;

Исторически сложилось, что обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплекснозначных функций частоты записывают как f(jω), а не f(ω). Такое обозначение показывает, что мы имеем дело с комплексными представлениями гармонических функций вида e^jωt. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: $\hat U(j\omega)\;$ чтобы отличать от соответствующих действительных (некомплексных) величин.

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом $\hat z(j \omega)\;$ можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением $\Re(\hat z(j \omega)\;)$ и чисто реактивный элемент с импедансом $\Im(\hat z(j \omega)\;)$

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько ток отстаёт от напряжения.

Ограничения

Понятие импеданса применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель e^jωt в (1) не сокращается. Однако, импеданс зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для нее.

Вычисление импеданса

Идеальные элементы

Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

zR = R

(2)

Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

$i(t)=C \frac {dU}{dt}$

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

$\hat u(j \omega, t)\;= U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}$

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

$\hat i(j \omega, t)\;= C \frac {d}{dt} \left( U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} \right) = j \omega C U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}$

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

$\hat z_C(j \omega)\;= \frac {1}{j \omega C}$

(6)

Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

$\hat z_L(j \omega)\;= j \omega L$

(7)

Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

$\hat z(j \omega)\;= R + \frac {1}{j \omega C} + j \omega L$

Экспериментальное измерение импеданса

Импеданс реальных элементов может быть измерен специальными приборами: измерителем RLC или анализатором импеданса. Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

Применение импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье или преобразования Фурье и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал.

См. также

• Внутреннее сопротивление
• Адмиттанс
• АФЧХ

Внешние ссылки

• Бесплатная программа для анализа и симуляции спектров импеданса

Примечания

1. ↑ Потому, что сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов тока и напряжения.