- Дифференциальная топология
-
Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Различие между этими науками состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии присутствуют локальные инварианты (кривизна) которые делают точки локально отличимыми.
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.
Основные подразделы дифференциальной геометрии и топологии
- Дифференциальная геометрия кривых
- Риманова геометрия
- Симплектическая топология
- Теория поверхностей
- Финслерова геометрия
Литература
Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:
- Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М.: ИЛ, 1949 (djvu)
- Гусейн-Заде С. М. Лекции по дифференциальной геометрии, МГУ (pdf)
- Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1970 (pdf)
- Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
- Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
- Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1971 (djvu)
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970 (djvu)
- Троицкий Е. В. Дифференциальная геометрия и топология, МГУ (pdf)
- Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. М.: МГУ, 1961 (djvu)
- Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.-Л.: ОНТИ, 1937 (djvu)
- Шарипов Р. А. Курс дифференциальной геометрии, БашГУ (pdf)
Wikimedia Foundation. 2010.
