Лагранжева механика

Классическая механика

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ Второй закон Ньютона

История…

Фундаментальные понятия Пространство · Время · Масса · Сила Энергия · Импульс Формулировки Ньютоновская механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Формализм Гамильтона — Якоби Разделы Прикладная механика Небесная механика Механика сплошных сред Геометрическая оптика Статистическая механика Учёные Галилей · Кеплер · Ньютон Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамильтон · Коши

См. также: Портал:Физика

Лагранжева механика является переформулировкой классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Это значительно упрощает множество физических задач. Например, рассмотрим бусинку на обруче. Если вычислять движение, используя второй закон Ньютона, то нужно записать сложный набор уравнений, принимающих во внимание все силы, действующие на обруч со стороны бусинки в каждый момент времени. С использованием лагранжевой механики решение той же самой проблемы становится намного проще. Нужно рассмотреть все возможные движения бусинки по обручу, и математически найти то, которое минимизирует действие. Здесь меньше уравнений, так как не надо непосредственно вычислять влияние обруча на бусинку в данный момент. Правда, в данной задаче уравнение всего одно, и его можно получить также из закона сохранения механической энергии.

Уравнения Лагранжа

Вывод уравнений

Уравнения движения в лагранжевой механике — уравнения Лагранжа, также известные как уравнения Эйлера — Лагранжа. Ниже мы рассмотрим схематический вывод уравнения Лагранжа из законов движения Ньютона. Смотрите ссылки для более детальных и более общих выводов.

Рассмотрим единственную частицу с массой $m$ и радиус-вектором $\mathbf{r}$. Предполагаем, что силовое поле $\mathbf{F}$, в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии $V(\mathbf{r},\;t)$ (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):

$\mathbf{F}=-\nabla V.$

Такая сила не зависит от производных $\mathbf{r}$, поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — $\{r_j,\;r'_j \mid j=1,\;2,\;3\}$ (декартовы компоненты $\mathbf{r}$ в данный момент времени).

Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, $q_j$, и их производными, обобщёнными скоростями $q'_j$. Радиус-вектор $\mathbf{r}$ связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:

$\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_i,\;t),\quad i=1,\;\ldots,\;N,$

где $N$ — число степеней свободы системы.

Например, для плоского движения математического маятника длиной $l$ логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения $\theta$ от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид

$\mathbf{r}(\theta,\;\theta',\;t)=(l\sin\theta,\;l\cos\theta).$

Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.

Рассмотрим произвольное смещение $\delta\mathbf{r}$ частицы. Работа, совершаемая приложенной силой $\mathbf{F}$, равна $\delta W =\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r}$. Используя второй закон Ньютона, запишем:

$m\mathbf{\ddot r}\cdot\delta\mathbf{r}=\mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r}.$

Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,

$\begin{matrix} \mathbf{F}\cdot\delta\mathbf{r} & = & -\mathrm{grad}\,V\cdot\sum\limits_i\displaystyle{\partial\mathbf{r}\over\partial q_i}\delta q_i \\ \\ & = & -\sum\limits_{i,\;j}\displaystyle{\partial V\over\partial r_j}\displaystyle{\partial r_j\over\partial q_i}\delta q_i \\ \\ & = & -\sum\limits_i\displaystyle{\partial V\over\partial q_i}\delta q_i. \\ \end{matrix}$

Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:

$m\mathbf{\ddot r}\cdot\delta\mathbf{r}=\sum_i\left[{d\over dt}{\partial T\over\partial q'_i}-{\partial T\over\partial q_i}\right]\delta q_i,$

где $T=\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{r}}}^2$ — кинетическая энергия частицы. Уравнение для работы запишется в виде

$\sum_i\left[{d\over dt}{\partial{T}\over\partial{\dot q_i}}-{\partial{(T-V)}\over\partial q_i}\right]\delta q_i=0.$

Это выражение должно быть верно для любых изменений $\delta q_i$, поэтому

$\left[{d\over dt}{\partial{T}\over\partial{\dot q_i}}-{\partial{(T-V)}\over\partial q_i}\right]=0$

для каждой обобщённой координаты $\delta q_i$. Можно и дальше упростить это выражение, если заметить, что $V$ — функция только $\mathbf{r}$ и $t$, и $\mathbf{r}$ — функция обобщённых координат и $t$. Тогда $V$ не зависит от обобщённых скоростей:

${d\over dt}{\partial{V}\over\partial{\dot q_i}}=0.$

Вставляя это в предыдущее уравнение и заменяя $L=T-V$, получим уравнения Лагранжа:

${\partial{L}\over\partial q_i}={d\over dt}{\partial{L}\over\partial{\dot q_i}}.$

Так же, как и уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа являются уравнениями второго порядка, что следует из их вывода. Для каждой обобщённой координаты $q_i$ есть одно уравнение Лагранжа. Когда $q_i=r_i$ (то есть обобщённые координаты — просто декартовы координаты), можно легко проверить, что уравнения Лагранжа сводятся ко второму закону Ньютона.

Вышеприведённый вывод может быть обобщён на систему из $N$ частиц. Тогда будет $3N$ обобщённых координат, связанных с координатами положения $3N$ уравнениями преобразования. В каждом из $3N$ уравнений Лагранжа, $T$ — полная кинетическая энергия системы, и $V$ полная потенциальная энергия.

Практически, часто легче решить проблему, используя уравнения Эйлера — Лагранжа, а не законы Ньютона, потому что соответствующие обобщённые координаты $q_i$ могут быть выбраны с учётом симметрий задачи.

Примеры задач

Рассмотрим точечную бусинку массы $m$, движущуюся без трения по неподвижному вертикальному кольцу. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве координаты угол $\varphi$ отклонения радиуса, направленного к бусинке, от вектора силы тяжести $m\vec{g}$. Кинетическая энергия запишется в виде

$T=\frac{mr^2\dot\varphi^2}{2},$

а потеницальная энергия равна

$U=-mgr\cos\varphi.$

Функция Лагранжа для этой системы

$L=T-U=\frac{mr^2\dot\varphi^2}{2}+mgr\cos\varphi.$

Уравнения Лагранжа примут вид:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot\varphi)+mgr\sin\varphi=mr^2\ddot\varphi+mgr\sin\varphi=0.$

Это уравнение можно также получить, продифференцировав по времени закон сохранения механической энергии. Для маленьких углов $\varphi$ синус угла равен самому углу: $\sin\varphi\approx\varphi$. В этом случае получим

$mr^2\ddot\varphi=-mgr\,\varphi$ то есть

$\ddot\varphi=-\frac{g}{r}\,\varphi$

Это дифференциальное уравнение известно из уравнений движения Ньютона и имеет решение

$\varphi(t) = A\cos\omega t+ B\sin\omega t$

где константы $A$ и $B$ зависят от начальных условий, а $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$

Рассмотрим точеченую бусинку массы $m$, движущуюся без трения по вертикальному кольцу, вращающемуся вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве координаты угол $\varphi$ отклонения радиуса, направленного к бусинке, от вектора силы тяжести $m\vec{g}$. Кинетическая энергия запишется в виде

$T=\frac{m}{2}(r^2\dot\varphi^2+r^2\sin^2\varphi\,\dot\theta^2),$

где $\theta$ — угол поворота кольца. Потеницальная энергия равна

$U=-mgr\cos\varphi.$

Функция Лагранжа для этой системы

$L=T-U=\frac{m}{2}(r^2\dot\varphi^2+r^2\sin^2\varphi\,\dot\theta^2)+mgr\cos\varphi.$

Уравнения Лагранжа примут вид

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=\frac{d}{dt}(mr^2\dot\varphi)+mr^2\sin\varphi\cos\varphi\,\dot\theta^2+mgr\sin\varphi=mr^2\ddot\varphi+\frac{mr^2\omega^2}{2}\sin 2\varphi+mgr\sin\varphi=0,$

так как $\theta=\theta_0+\omega t$ — заданная функция времени (не обобщённая координата).

Если бы скорость вращения кольца не была бы нам задана, а определялась бы движением системы (скажем, вращающееся без трения лёгкое кольцо), то вместо одного уравнения Лагранжа мы получили бы два (уравнения для $\varphi$ и для $\theta$):

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=0,\quad\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial L}{\partial\theta}= 0,$

$mr^2\ddot\varphi+\frac{mr^2\dot\theta^2}{2}\sin 2\varphi+mgr\sin\varphi=0,\quad\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\varphi\,\dot\theta)= 0.$

Эти уравнения можно также получить, продифференцировав по времени закон сохранения механической энергии и закон сохранения момента импульса.

Принцип Гамильтона

Действием (обычно обозначают $S$) называется интеграл по времени от лагранжиана для заданной траектории системы:

$S=\int L(\vec q(t),\;\dot{\vec q}(t),\;t)\,dt.$

Пусть $q_0$ и $q_1$ — координаты соответственно начальной и конечной точки в моменты времени $t_0$ и $t_1$. Используя вариационное исчисление, можно показать, что при некоторых слабых условиях (в малой окрестности начальной точки) уравнения Лагранжа эквивалентны принципу Гамильтона:

Траектория движения системы между моментами времени $t_0$ и $t_1$ такова, чтобы действие было стационарным.

Любая такая траектория называется прямым путём между двумя точками. Все остальные пути называются окольными.

Под стационарностью мы подразумеваем, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории, с закреплёнными начальной $(q_0,\;t_0)$ и конечной $(q_1,\;t_1)$ точками. Принцип Гамильтона запишется в виде

$\delta S=0.$

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно рассматривать частицы, «выбирающие» траекторию со стационарным действием.

Принцип Гамильтона обычно называют принципом наименьшего действия. Однако нужно соблюдать осторожность и помнить, что из равенства нулю первой вариации действия следует лишь его стационарность. Легко заметить, что максимального значения функционал действия в классической механике принимать не может, так как частица может пройти тот же самый путь с большей скоростью, при этом её кинетическая энергия на всём пути будет больше, а потенциальная энергия не изменится, то есть действие не ограничено сверху (если не накладывать ограничений на скорости). Однако две точки могут соединяться несколькими путями, на которых действие принимает стационарное значение. Простейший пример — свободное движение точки по сфере, при котором существует бесконечно много равноправных способов попасть в диаметрально противоположную точку. Возможны более сложные случаи, когда точки соединяются несколькими прямыми путями, но значение действия на них различно.

Точка $M_2$ называется сопряжённым кинетическим фокусом для точки $M_1$, если через $M_1$ и $M_2$ проходят несколько прямых путей.

В буквальном смысле принцип наименьшего действия справедлив лишь локально. А именно, имеет место

• Теорема Бобылёва^[1]: действие вдоль прямого пути $M_1 M_2$ имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге $M_1 M_2$ нет сопряженного для $M_1$ кинетического фокуса.

Расширения лагранжевой механики

Гамильтониан, обозначаемый $\mathbf{H}$, получается при выполнении преобразований Лежандра над функцией Лагранжа. Гамильтониан — основание для альтернативной формулировки классической механики, известной как гамильтонова механика. Эта функция особенно распространена в квантовой механике (см. Гамильтониан (квантовая механика)).

В 1948 году Фейнман изобрёл формулировку с привлечением интегралов по траекториям и распространил принцип наименьшего действия на квантовую механику. В этой формулировке частицы путешествуют по всем возможным траекториям между начальным и конечным состояниями; вероятность определённого конечного состояния вычисляется суммированием (интегрированием) по всем возможным траекториям, приводящим к нему. В классическом случае формулировка интеграла по траекториям полностью воспроизводит принцип Гамильтона.

Классические работы

• Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 1. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 2. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
• Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. Под редакцией Полак Л. С. — М.: Физматгиз, 1959.

См. также

• Гамильтонова механика
• Функциональная производная
• Степени свободы (физика)
• Машина Атвуда

Примечания

1. ↑ Бобылев Д. К. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия Лагранжа / Приложение к т. LXI Зап. Ак. наук. — СПб., 1889.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
• Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd edition. — Addison-Wesley, 1980. — pp. 16.
• Moon F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems. — Wiley, 1998. — pp. 103–168.

Ссылки

• Rychlik, Marek. «Lagrangian and Hamiltonian mechanics — A short introduction»
• Tong, David. Classical Dynamics Лекции из университета Кембриджа
• Асланов В. С., Тимбай И. А. Движение твердого тела в обобщенном случае Лагранжа