Теория кос

Пример косы с тремя дугами.

Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.

Определение косы

Коса из $n$ нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей $P_0$ и $P_1$ в трёхмерном пространстве $\R^3$, содержащих упорядоченные множества точек $a_1,a_2,\dots,a_n\in P_0$ и $b_1,b_2,\dots,b_n\in P_1$, и из $n$ непересекающихся между собой простых дуг $l_1,l_2,\dots,l_n$, пересекающих каждую параллельную плоскость $P_t$ между $P_0$ и $P_1$ однократно и соединяющих точки $\{a_i\}$ с точками $\{b_i\}$.

Обычно считается, что точки $a_1,a_2,\dots,a_n$ лежат на прямой $l_0$ в $P_0$, а точки $b_1,b_2,\dots,b_n$ на прямой $l_1$ в $P_1$, параллельной $l_0$, причем $a_i$ расположены под $b_i$ для каждого $i$.

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через $l_0$ и $l_1$, эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Группа кос

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными $P_0, P_1, \{a_i\}, \{b_i\}$ вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами $h:\Pi\to \Pi$, где $\Pi$ — область между $P_0$ и $P_1$, тождественными на $P_0\cup P_1$. Косы $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм $h$, что $h(\alpha)=\beta$.

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос $B(n)$. Единичная коса класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса $\alpha^{-1}$, обратная косе $\alpha$, определяется отражением в плоскости $P_{1/2}$

Нить косы соединяет $a_i$ с $b_{j_i}$ и определяет подстановку, элемент симметрической группы $S_n$. Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм $B(n)$ на группу $S_n$ перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа $K(n)$, соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

$0 \to K(n)\to B(n)\to S _n\to 0$

См. также

• Теория узлов

Литература

• Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стр. 6-14