Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов $G_i$ с последовательностью гомоморфизмов $\varphi_i\colon G_i\rightarrow G_{i+1}$, такая что для любого $i$ образ $\varphi_{i-1}$ совпадает с ядром $\varphi_i$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют).

В большинстве приложений роль $G_{i}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространство или алгебры над кольцами.

Связанные определения

• Точные последовательности типа

  $0\longrightarrow A \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} B \stackrel{\psi}{\longrightarrow} C \longrightarrow 0$

называются короткими точными последовательностями, в этом случае $\varphi$ — мономорфизм, а $\psi$ — эпиморфизм.

• При этом, если у $\varphi$ есть правый обратный или у $\psi$ левый обратный морфизм, то $B$ можно отождествить с $A\oplus C$ таким образом, что $A$ и $C$ отображаются в $A$ и $C$ тождественным образом. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

• Если $\mathrm{Im}\,\varphi_i \subset \mathrm{Ker}\,\varphi_{i+1},$ то последовательность называется полуточной.

Примеры

• В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если $F \to M \to B$ — локально тривиальное расслоение над $B$ со слоем $F$, то следующая последовательность гомотопических групп точна^[1]:

$\ldots \to \pi_n(F) \to \pi_n(M) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \ldots \to \pi_0(F) \to \pi_0(M) \to \pi_0(B)$

• Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

$\begin{align} \cdots\rightarrow H_{n+1}(X)\,&\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow{(i_*,j_*)}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_{n}(X)\xrightarrow{\partial_*}\\ &\quad\xrightarrow{\partial_*}\,H_{n-1} (A\cap B)\rightarrow \cdots\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\,\xrightarrow{k_* - l_*}\,H_0(X)\rightarrow\,0. \end{align}$

• Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
• Пусть $E\to X$ — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана^[2] короткая точная последовательность расслоений

$0 \longrightarrow VX \longrightarrow TE \longrightarrow HX \longrightarrow 0$

и двойственная к ней

$0 \longleftarrow V^*X \longleftarrow T^*E \longleftarrow H^*X \longleftarrow 0$

Здесь $TE$ — касательное расслоение к многообразию $E$, $VX$ и $HX$ — вертикальное и горизонтальное расслоения к $X$ соответственно. $^*$ обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

Литература

1. ↑ Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
2. ↑ Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.