Предел вдоль фильтра

Предел вдоль фильтра — обобщение понятия предела.

Определение фильтра

Основная статья: Фильтр (математика)

Пусть дано множество $X.$ Непустая система $\mathfrak{B}$ подмножеств множества $X$ называется базисом фильтра на $X$, если

• для любого $B\in \mathfrak{B}$ выполнено $B \neq \varnothing;$
• для любых $B_1,B_2 \in \mathfrak{B}$ существует $B_3\in \mathfrak{B}$ такое, что $B_3 \subset B_1 \cap B_2.$

Определение предела

Везде далее $\mathfrak B$ -- базис фильтра на множестве $X$

Предел числовой функции

Пусть $f:X \to \mathbb{R}$. Число $A \in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ по базе $\mathfrak{B},$ если

для любого $\varepsilon > 0$ существует $B \in \mathfrak{B}$ такое, что для всех $x \in B$ выполнено неравенство $|f(x)-A| < \varepsilon.$

Пишут: $\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = A.$

Предел функции со значениями в метрическом пространстве

Пусть $(M,\rho)$ - метрическое пространство и $f : X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе $\mathfrak{B},$ если

для любого $\varepsilon > 0$ существует $B \in \mathfrak{B}$ такое, что для всех $x \in B$ выполнено неравенство $\rho(f(x),a) < \varepsilon.$

Пишут: $\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.$

Предел функции со значениями в топологическом пространстве

Пусть $(M,\mathcal T)$ - топологическое пространство и $f\colon X\to M$. Точка $a\in M$ называется пределом функции $f$ по базе $\mathfrak{B},$ если

для любой окрестности $V$ точки $a$ существует $B \in \mathfrak{B}$ такое, что $f(B)\subset V$, т.е. для всех $x \in B$ выполняется включение $f(x)\in V$

Пишут: $\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.$

Замечание. Последнее "равенство" корректно использовать лишь в случаях, когда пространство $(M,\mathcal T)$ - хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, и $M \subset X.$ Пусть $a \in M'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \left\{M\cap\dot{U} \equiv M\cap U \setminus\{a\} \mid a\in U\in\mathcal T \right\}$

является базисом фильтра и обозначается $M\ni x \to a.$ Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру $x \to a.$

Односторонние пределы

Основная статья: Односторонние пределы

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in \bigl(M \cap (a, \infty) \bigr)'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}$

является базисом фильтра и обозначается $x \to a+$ или $x \to a+0.$ Предел $\lim\limits_{x \to a+}f(x)$ называется правосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in \bigl(M \cap (-\infty,a) \bigr)'.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}$

является базисом фильтра и обозначается $x \to a-$ или $x \to a-0.$ Предел $\lim\limits_{x \to a-}f(x)$ называется левосторонним пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к $a.$

Пределы на бесконечности

Основная статья: Пределы функции на бесконечности

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $\sup M = \infty.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{M \cap (T,\infty) \mid T \in \mathbb{R}\}.$

является базисом фильтра и обозначается $x \to \infty$ или $x \to +\infty.$ Предел $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к бесконечности.

• Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $\inf M = -\infty.$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{M \cap (-\infty,T) \mid T \in \mathbb{R}\}.$

является базисом фильтра и обозначается $x \to -\infty.$ Предел $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ называется пределом функции $f$ при $x$ стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Система множеств $\mathfrak{B} = \{B_n\}_{n=1}^{\infty},$ где

$B_n = \{n,n+1,n+2,\ldots\} \quad n \in \mathbb{N},$

является базисом фильтра и обозначается $n \to \infty.$ Функция $n\in \mathbb{N} \mapsto f_n\in \mathbb{R}$ называется числовой последовательностью, а предел $\lim\limits_{n \to \infty}f_n$ пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Пусть $f\colon [a,b]\subset \R \to \R.$ Назовём размеченным разбиением отрезка $[a,b]$ коллекцию точек $T = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1}<x_n = b,\; x_{n-1} \leqslant \xi_n \leqslant x_n \; n \in \mathbb{N}\}.$ Назовём диаметром разбиения $T$ число $d(T) = \max\limits_{i \in \{1,\ldots, n\}} (x_i - x_{i-1}).$ Тогда система множеств

$\mathfrak{B} = \{T \mid d(T) < \delta, \delta > 0\}$

является базисом фильтра в пространстве $\mathfrak{T}$ всех размеченных разбиений $[a,b].$ Определим функцию $S_f:\mathfrak{T} \to \mathbb{R}$ равенством

$S_f(T) = \sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\quad T \in \mathfrak{T}.$

Тогда предел $\lim\limits_{\mathfrak{B}} S_f(T)$ называется интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a,b].$

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М.: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.