Логарифмический потенциал

Логарифми́ческим потенциа́лом называют функцию, определённую в ℝ² как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

$V=-\ln |z|*\rho.$

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора z - или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней.

Потенциал площади

$V(z)=\iint\limits_G\rho(\zeta)\ln\frac{1}{|z-\zeta|}d\xi\,d\eta,\qquad \zeta=\xi+i\eta.$

Если $\rho(z)\in C(\overline G)$, то сам потенциал $V(z)\in C^1(\R^2)$ гармоничен в $\R^2\setminus G$ и

$V(z)=\ln\frac{1}{|z|}\iint\limits_G\rho(\zeta)d\xi\,d\eta+O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.$

• Здесь, как это часто делается, подразумевается представление $\R^2$ как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные $\zeta,\ z$ просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа - на евклидову норму в $\R^2$, а если $\rho$ также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя

$V^{(0)}(z)=\ln\frac{1}{|z|}*\mu\delta_S=\int\limits_S\mu(\zeta)\ln\frac{1}{|z-\zeta|}dS_\zeta.$

Если $\mu(z)\in C(S)$, то сам потенциал $V^{(0)}(z)\in C(\R^2)$ гармоничен в $\R^2\setminus S$ и

$V^{(0)}(z)=\ln\frac{1}{|z|}\int\limits_S\mu(\zeta)dS_\zeta+O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.$

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

$\left ( \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\right )\Bigg |_+= -\pi\mu(z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf{n}},$

$\left ( \frac{\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf{n}}\right )\Bigg |_-= \pi\mu(z)+\frac{\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf{n}}.$

Логарифмический потенциал двойного слоя

$V^{(1)}(z)=-\ln\frac{1}{|z|}*\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}}(\nu\delta_S) = \int\limits_S\nu(\zeta)\frac{\partial}{\partial \mathbf{n}}\left ( \ln\frac{1}{|z-\zeta|}\right ) dS_\zeta = \int\limits_S\nu(\zeta)\frac{\cos\varphi}{|z-\zeta|}dS_\zeta,$

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если $\nu(z)\in C(S)$, то сам потенциал $V^{(1)}(z)$ гармоничен в $\R^2\setminus G$ и

$V^{(1)}(z)=O\left ( \frac{1}{|z|}\right ),\ |z|\rightarrow\infty.$

Если S — кривая Ляпунова, то:

$V^{(1)}\in C(\overline{G})\cap C(S) \cap C(\R^2\setminus G)$

и

$V^{(1)}_+(z)=\pi\nu(z) + V^{(1)}(z),$

$V^{(1)}_-(z)=-\pi\nu(z) + V^{(1)}(z).$

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

$V^{(1)}=\begin{cases} -2\pi\nu,\ z\in G, \\ -\pi\nu,\ z\in S, \\ 0,\ z\in \R^2\setminus\overline{G}. \end{cases}$

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана
• Краевая задача
• Ньютонов потенциал
• Теория потенциала

Литература

• В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

Ссылки

• Потенциал в Большой советской энциклопедии